Skip to main content

Теория: Свойства

Задание

На сторонах \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CD\) квадрата \(\displaystyle ABCD\) отметили соответственно точки \(\displaystyle K\) и \(\displaystyle L\) так, что \(\displaystyle BK \perp AL{\small.}\) Найдите длину отрезка \(\displaystyle AL{\small,}\) если \(\displaystyle AB=7{\small,}\) \(\displaystyle BK=8{\small.}\)

\(\displaystyle AL=\)

Решение

Выполним построение по условию задачи.

\(\displaystyle ABCD\) – квадрат.

  • \(\displaystyle AB=7{\small;}\)
  • \(\displaystyle K \in AD{\small,}\) \(\displaystyle L \in CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle BK \perp AL{\small;}\)
  • пусть \(\displaystyle H\) – точка пересечения \(\displaystyle BK\) и \(\displaystyle AL{\small;}\)
  • \(\displaystyle BK=8{\small.}\)

Требуется найти длину отрезка \(\displaystyle AL{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ABK{\small.}\)

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \(\displaystyle 90^{\circ}{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle \angle ABK+ \angle AKB= 90^{\circ}{\small.}\)

Обозначим \(\displaystyle \color{darkred}{\alpha}=\angle ABK{\small,}\) \(\displaystyle \color{darkviolet}{\beta}=\angle AKB{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle \color{darkred}{\alpha}+\color{darkviolet}{\beta}=90^{\circ}{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle AHK{\small.}\)

Запишем сумму острых углов прямоугольного треугольника:

\(\displaystyle \angle HAK+ \angle HKA= 90^{\circ}{\small.}\)

Подставим  \(\displaystyle \angle HKA=\color{darkviolet}{\beta}{\small:}\)

\(\displaystyle \angle HAK+ \color{darkviolet}{\beta}= 90^{\circ}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \angle HAK= 90^{\circ}-\color{darkviolet}{\beta}=\color{darkred}{\alpha}{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle DAL\) и \(\displaystyle ABK{\small.}\)

  • \(\displaystyle AD=AB=7\) – стороны квадрата равны;
  • \(\displaystyle \angle DAL= \angle ABK= \color{darkred}{\alpha}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle DAL= \triangle ABK\) – по катету и острому углу.

Значит,

\(\displaystyle AL=BK=8{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle AL=8{\small.}\)