От точки \(\displaystyle O\small,\) середины отрезка \(\displaystyle AB\small,\) отложили отрезок \(\displaystyle OC\) так, что \(\displaystyle OA=OC=3\) и \(\displaystyle OC\) перпендикулярен \(\displaystyle AB\small.\) Через точку \(\displaystyle C\) провели прямую \(\displaystyle l\small,\) пересекающую \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle D{\small:}\)
Обозначим длину отрезка \(\displaystyle AD\) за \(\displaystyle x\small.\) Выразите \(\displaystyle \cos\alpha\) через \(\displaystyle x{\small:}\)
Чтобы найти \(\displaystyle \cos\color{red}{\alpha}\small,\) найдем длины сторон \(\displaystyle OC\) и \(\displaystyle CD\small.\)
Длина стороны \(\displaystyle CO\) известна и равна \(\displaystyle 3\small.\) Тогда выразим отрезок \(\displaystyle CD\) через \(\displaystyle x\small.\)
\(\displaystyle CD = \sqrt{(3-x)^2+9}\small.\)
Поскольку \(\displaystyle AO=3\) и \(\displaystyle AD=x\small,\) то \(\displaystyle DO=AO-AD=3-x\small.\) По теореме Пифагора для треугольника \(\displaystyle CDO\small{:}\) \(\displaystyle CD^2=OD^2+CO^2=(3-x)^2+3^2\small,\) \(\displaystyle CD=\sqrt{(3-x)^2+9}\small.\) |  |
Тогда в треугольнике \(\displaystyle CDO{\small:}\)
- катет \(\displaystyle CO=3\small,\)
- гипотенуза \(\displaystyle CD=\sqrt{(3-x)^2+9}\small.\)
То есть
\(\displaystyle \cos\angle DCO=\cos\color{red}{\alpha}=\frac{CO}{CD}=\frac{3}{\sqrt{(3-x)^2+9}}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \cos\color{red}{\alpha}=\frac{3}{\sqrt{(3-x)^2+9}}\small.\)