Skip to main content

Теория: Задачи (короткая версия)

Задание

Косинус одного из углов прямоугольного треугольника равен \(\displaystyle 0{,}8\small.\) Найдите, в каком отношении высота делит гипотенузу:

\frac{16}{9}
Решение

Построим рисунок к задаче.

Построим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ABC\) такой, что \(\displaystyle \angle A=\alpha\) и \(\displaystyle \cos\alpha=0{,}8\small.\)  

Проведем высоту \(\displaystyle BH\small.\)

Обозначим длину отрезка \(\displaystyle AC\) за \(\displaystyle x\) и выразим длины отрезков \(\displaystyle AH\) и \(\displaystyle CH\) через \(\displaystyle x\small.\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC\) и выразим \(\displaystyle AB\) через \(\displaystyle x\small.\)

В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABC{\small:}\)

  • \(\displaystyle \cos\angle CAB=0{,}8{\small,}\)
  • \(\displaystyle AC=x\small.\)

Тогда

\(\displaystyle AB=AC\cdot\cos\angle CAB=0{,}8x\small.\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABH\) и выразим \(\displaystyle AH\) через \(\displaystyle x\small.\)

Теперь воспользуемся тем же свойством косинуса, но для треугольника \(\displaystyle ABH{\small:}\)

  • \(\displaystyle \cos\angle HAB=0{,}8{\small,}\)
  • \(\displaystyle AB=0{,}8x\small.\)

Тогда

\(\displaystyle AH=AB\cdot\cos\angle HAB=0{,}8x\cdot0{,}8=0{,}64x\small.\)

Теперь найдем длину отрезка \(\displaystyle HC{\small:}\)

\(\displaystyle HC=AC-AH=x-0{,}64x=0{,}36x\small.\)

Тогда точка \(\displaystyle H\) делит гипотенузу в отношении:

\(\displaystyle \frac{AH}{HC}=\frac{0{,}64x}{0{,}36x}=\frac{16}{9}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{16}{9}\small.\)