Skip to main content

Теория: Решение треугольников (короткая версия)

Задание

Периметр равнобедренного треугольника с углом \(\displaystyle 120^{\circ}\) равен \(\displaystyle 26\small.\) Найдите стороны этого треугольника.

\(\displaystyle AB=\)
52-26\sqrt{3}
  и \(\displaystyle BC=\) 
52\sqrt{3}-78
Решение

Треугольник \(\displaystyle ABC\) – равнобедренный. Значит, два его угла равны.

Угол \(\displaystyle A\) тупой, а двух тупых углов в треугольнике быть не может. Тогда

\(\displaystyle \angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=30^{\circ}\small.\)

Обозначим одну из сторон за \(\displaystyle x\) и выразим через \(\displaystyle x\) остальные стороны, используя теорему синусов.

Получаем:

\(\displaystyle \frac{x}{\sin120^{\circ}}=\frac{AB}{\sin30^{\circ}}=\frac{AC}{\sin30^{\circ}}\small.\)


Выразим \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) через \(\displaystyle x\) и подставим значения синусов \(\displaystyle \sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\small,\) \(\displaystyle \sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\small.\)

Получаем:

\(\displaystyle AB=AC=\frac{x}{\sin120^{\circ}}\cdot \sin30^{\circ}=\frac{x}{\sqrt{3}}\small.\)


Поскольку периметр треугольника равен сумме длин сторон, то

\(\displaystyle P_{ABC}=AB+BC+AC\small.\)

Подставляя известные значения, получаем:

\(\displaystyle 26=\frac{x}{\sqrt{3}}+x+\frac{x}{\sqrt{3}}=x\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\small,\)

\(\displaystyle x=\frac{26}{\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}=\frac{26\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}\small.\)

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

\(\displaystyle x=52\sqrt3-78\small.\)

Тогда

\(\displaystyle BC=52\sqrt3-78\) и \(\displaystyle AB=AC=\frac{52\sqrt3-78}{\sqrt{3}}=52-26\sqrt{3}\small.\)