Используя теорему синусов, найдите \(\displaystyle \angle A{\small:}\)
Теорема синусов
В треугольнике отношения сторон к синусам противолежащих углов одинаковы и равны удвоенному радиусу описанной окружности: \(\displaystyle \frac{\color{Purple}{a}}{\sin\color{Purple}{\alpha}}=\frac{\color{green}{b}}{\sin\color{green}{\beta}}=\frac{\color{blue}{c}}{\sin\color{blue}{\gamma}}=2\color{red}{R}{\small.}\) |  |
По теореме синусов для треугольника \(\displaystyle ABC\small{:}\) \(\displaystyle \frac{AC}{\sin120^\circ}=\frac{BC}{\sin\angle A}\small.\)
\(\displaystyle \sin\angle A=\frac{BC\sin120^\circ}{AC}\small.\) |  |
\(\displaystyle \sin\angle A=\frac{5\sqrt2 \cdot \frac{\sqrt3}{2}}{5\sqrt3}=\frac{\sqrt2}{2}\small.\)
В треугольнике не может быть два тупых угла, а в треугольнике \(\displaystyle ABC\) угол \(\displaystyle B\) тупой. Значит, угол \(\displaystyle A\)- острый.
Острый угол, синус которого \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\small,\) равен \(\displaystyle 45^{\circ}{\small:}\)
\(\displaystyle \angle A=45^\circ\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 45^\circ\small.\)