Skip to main content

Теория: 04 Выбор точки из отрезка

Задание

Отрезок \(\displaystyle AB\) разбили на шесть равных частей точками \(\displaystyle C{\small,}\;D{\small,}\;E{\small,}\;F\) и \(\displaystyle G{\small.}\)

Из отрезка \(\displaystyle AB\) выбирают случайную точку \(\displaystyle X{\small.}\)

Найдите вероятность того, что точка \(\displaystyle X{\small}\) принадлежит хотя бы одному из отрезков \(\displaystyle AC\) или \(\displaystyle EF{\small.}\)
 

\frac{1}{3}
Решение

Рассмотрим события

  • \(\displaystyle A_1\) – \(\displaystyle X\) принадлежит \(\displaystyle AC{\small,}\)
  • \(\displaystyle A_2\) – \(\displaystyle X\) принадлежит \(\displaystyle EF{\small.}\)

Событие \(\displaystyle “X\) принадлежит хотя бы одному из отрезков \(\displaystyle AC{\small}\) или \(\displaystyle EF"{\small}\) равно объединению событий \(\displaystyle A_1\) и \(\displaystyle A_2{\small.}\)

Поскольку события \(\displaystyle A_1\) и \(\displaystyle A_2\) несовместны, то

\(\displaystyle P(A_1 \cup A_2)=P(A_1) + P(A_2){\small.}\)

Найдём вероятности \(\displaystyle P(A_1)\) и \(\displaystyle P(A_2)\) принадлежности точки \(\displaystyle X{\small}\) отрезкам \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle EF\) соответственно 

по формуле геометрической вероятности.

По условию, отрезок \(\displaystyle AB{\small}\) разделён на шесть равных частей точками \(\displaystyle C{\small,}\;D{\small,}\;E{\small,}\;F\) и \(\displaystyle G{\small.}\)

Обозначим длину одной части за \(\displaystyle x{\small.}\)

Тогда 

\(\displaystyle AB=6x{\small,}\) \(\displaystyle AC=EF=x{\small.}\) 

Получаем:

\(\displaystyle P(A_1)=\frac{{AC}}{{AB}}=\frac{{x}}{{6x}}=\frac{1}{6}{\small.}\)

\(\displaystyle P(A_2)=\frac{{EF}}{{AB}}=\frac{{x}}{{6x}}=\frac{1}{6}{\small.}\)

Значит, искомая вероятность равна 
 

\(\displaystyle P(A_1 \cup A_2)=P(A_1) + P(A_2)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}{\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{3}{\small.}\)