Геометрическая вероятность.
Определение Геометрическое определение вероятности на отрезке
Пусть отрезок \(\displaystyle MN\) содержится в отрезке \(\displaystyle AB{\small.}\)
Из отрезка \(\displaystyle AB\) производится случайный выбор точки.
Тогда вероятность \(\displaystyle P\) того, что выбранная точка принадлежит отрезку \(\displaystyle MN{\small ,}\) равна отношению длин отрезков \(\displaystyle MN{\small }\) и \(\displaystyle AB{\small:}\)
\(\displaystyle P=\frac{\color{red}{MN}}{\color{blue}{AB}}{\small.}\)
Изобразим отрезок \(\displaystyle AB\) длины \(\displaystyle 10\)см и отметим его середину – точку \(\displaystyle C{\small:}\)
1. Выясним, где на отрезке \(\displaystyle AB\) находится множество всех точек, удаленных от \(\displaystyle C\) не больше, чем на \(\displaystyle 2\)см.
На отрезке \(\displaystyle AB\)
- отложим от точки \(\displaystyle C\) влево на расстоянии \(\displaystyle 2\)см точку \(\displaystyle M{\small,}\)
- отложим от точки \(\displaystyle C\) вправо на расстоянии \(\displaystyle 2\)см точку \(\displaystyle N{\small.}\)
Искомое множество точек – отрезок \(\displaystyle MN{\small.}\)
Рассмотрим каждый из отрезков \(\displaystyle AC{\small }\) и \(\displaystyle CB{\small ,}\) на которые точка \(\displaystyle C\) разделила отрезок \(\displaystyle AB{\small .}\)
1. Отрезок \(\displaystyle AC{\small. }\)
- Все точки отрезка \(\displaystyle AC{\small }\) удаленные от \(\displaystyle C\) не больше, чем на \(\displaystyle 2\)см, находятся на отрезке \(\displaystyle MC{\small.}\)
- Все точки отрезка \(\displaystyle AC{\small }\) удаленные от \(\displaystyle C\) не меньше, чем на \(\displaystyle 2\)см, находятся на отрезке \(\displaystyle AM{\small.}\)
2. Отрезок \(\displaystyle CB{\small. }\)
- Все точки отрезка \(\displaystyle CB{\small }\) удаленные от \(\displaystyle C\) не больше, чем на \(\displaystyle 2\)см, находятся на отрезке \(\displaystyle CN{\small,}\)
- Все точки отрезка \(\displaystyle CB{\small }\) удаленные от \(\displaystyle C\) не меньше, чем на \(\displaystyle 2\)см, находятся на отрезке \(\displaystyle NB{\small.}\)
Тогда все точки отрезка \(\displaystyle AB{\small ,}\) расстояние от которых до \(\displaystyle C\) не больше\(\displaystyle 2\)см – это точки отрезка \(\displaystyle MN{\small.}\)
2. Найдём вероятность того, что случайная точка отрезка \(\displaystyle AB\) принадлежит отрезку \(\displaystyle MN{\small.}\)
Эта вероятность равна отношению длин отрезков \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle AB{\small.}\)
Так как \(\displaystyle \color{blue}{AB=10}{\small,}\) \(\displaystyle \color{red}{MN}=2+2=\color{red}{4}{\small,}\) то
\(\displaystyle P=\frac{\color{red}{MN}}{\color{blue}{AB}}=\frac{\color {red}{4}}{\color {blue}{10}}=0{,}4\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}4\small.\)