Skip to main content

Теория: Коэффициент подобия

Задание

В трапеции \(\displaystyle ABCD\) \(\displaystyle BC\parallel AD{\small,}\) \(\displaystyle BC=9{\small.}\) Диагональ \(\displaystyle AC\) делит трапецию на два подобных треугольника \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ACD{\small.}\) Найдите большее основание трапеции, если эта диагональ равна \(\displaystyle 12{\small.}\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – трапеция:

  • \(\displaystyle BC \parallel AD{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=9{\small;}\)
  • \(\displaystyle AC=12\) – диагональ;
  • \(\displaystyle \triangle ABC \sim \triangle ACD{\small.}\)

Требуется найти большее основание трапеции, то есть найти длину отрезка \(\displaystyle AD{\small.}\)

 

По условию треугольник \(\displaystyle ABC\) подобен треугольнику \(\displaystyle ACD{\small.}\)

Определим соответственно равные углы этих треугольников.

\(\displaystyle \angle ACB= \angle CAD{\small;}\)     \(\displaystyle \angle BAC= \angle ADC{\small;}\)     \(\displaystyle \angle ABC= \angle ACD{\small.}\)

  • Основания трапеции параллельны, то есть \(\displaystyle BC \parallel AD{\small,}\) \(\displaystyle AC\) – секущая. Следовательно,

\(\displaystyle \color{blue}{\angle ACB}= \color{blue}{\angle CAD}\) – накрест лежащие.

  • Боковые стороны трапеции не параллельны, то есть \(\displaystyle AB \, {\nparallel } \, CD{\small,}\) значит, \(\displaystyle \color{red}{\angle BAC}\, \cancel= \, \color{green}{\angle ACD}\) как накрест лежащие при секущей \(\displaystyle AC{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle \color{red}{\angle BAC}= \color{red}{\angle ADC}{\small.}\)

  • Тогда равны оставшиеся углы

\(\displaystyle \color{green}{\angle ABC}=\color{green}{ \angle ACD}{\small.}\)

В подобных треугольниках сходственные стороны лежат напротив соответственно равных углов.

Следовательно,

\(\displaystyle \frac{AB}{CD}=\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}{\small.}\)

Из равенства \(\displaystyle \frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}\) по пропорции выразим \(\displaystyle AD{\small:}\)

\(\displaystyle AD=\frac{AC \cdot AC}{BC}{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle AC=12{\small,}\) \(\displaystyle BC=9{\small:}\)

\(\displaystyle AD=\frac{12 \cdot 12}{9}=\frac{144}{9}=16{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 16{\small.}\)