Skip to main content

Теория: Коэффициент подобия

Задание

В трапеции \(\displaystyle ABCD\) \(\displaystyle (AD \parallel BC ) \) \(\displaystyle AC\) – биссектриса угла \(\displaystyle A\) делит трапецию на два подобных треугольника \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ACD{\small,}\) \(\displaystyle AB=9\, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle CD=12\, {\footnotesize см}{\small.}\) Найдите периметр трапеции.

\(\displaystyle P_{ABCD}=\)\(\displaystyle {\footnotesize см}{\small.}\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – трапеция:

  • \(\displaystyle BC \parallel AD{\small;}\)
  • \(\displaystyle AC\) – биссектриса угла \(\displaystyle A{\small;}\)
  • \(\displaystyle AB=9\, {\footnotesize см}{\small;}\)
  • \(\displaystyle CD=12\, {\footnotesize см}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \triangle ABC \sim \triangle ACD{\small.}\)

Требуется найти периметр трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

 

Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон:

\(\displaystyle P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD{\small.}\)

 

\(\displaystyle BC=9{\small.}\)

  • \(\displaystyle AC\) – биссектриса угла \(\displaystyle BAD{\small,}\) значит,

\(\displaystyle \color{blue}{\angle BAC}= \color{blue}{\angle CAD}{\small;}\)

  • \(\displaystyle BC \parallel AD{\small,}\) \(\displaystyle AC\) – секущая, значит,

\(\displaystyle \color{blue}{\angle BCA}= \color{blue}{\angle CAD}\)  (накрест лежащие) 

 

Следовательно, \(\displaystyle \color{blue}{\angle BAC}=\color{blue}{ \angle BCA} \) и \(\displaystyle \triangle ABC\) – равнобедренный. Тогда

\(\displaystyle BC=AB=9\, {\footnotesize см}{\small.}\)

По условию треугольник \(\displaystyle ABC\) подобен треугольнику \(\displaystyle ACD{\small.}\)

Определим соответственно равные углы этих треугольников.

\(\displaystyle \angle BCA= \angle CAD{\small;}\)     \(\displaystyle \angle BAC= \angle ADC{\small;}\)     \(\displaystyle \angle ABC= \angle ACD{\small.}\)

Треугольник \(\displaystyle ACD\) равнобедренный, значит,

\(\displaystyle AC=CD=12\, {\footnotesize см}{\small.}\)

 

В подобных треугольниках сходственные стороны лежат напротив соответственно равных углов.

Следовательно,

\(\displaystyle \frac{AB}{CD}=\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}{\small.}\)

Из равенства \(\displaystyle \frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}\) по пропорции выразим \(\displaystyle AD{\small:}\)

\(\displaystyle AD=\frac{AC \cdot AC}{BC}{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle AC=12\, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle BC=9\, {\footnotesize см}{\small:}\)

\(\displaystyle AD=\frac{12 \cdot 12}{9}=\frac{144}{9}=16\, {\footnotesize см}{\small.}\)


Найдём периметр трапеции:

\(\displaystyle P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=9+9+12+16=46\, {\footnotesize см}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle P_{ABCD}=46\, {\footnotesize см}{\small.}\)