Skip to main content

Теория: 04 Первый признак подобия треугольников (по двум углам)

Задание

Диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) трапеции \(\displaystyle ABCD\) пересекаются в точке \(\displaystyle O{\small.}\) Найдите длину диагонали \(\displaystyle AC{\small,}\) если \(\displaystyle AB=7{\small,}\) \(\displaystyle CD=12{,}6\) и \(\displaystyle OA=5{\small.}\)

\(\displaystyle AC=\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – трапеция:

  • \(\displaystyle AB=7{\small;}\)
  • \(\displaystyle CD=12{,}6{\small;}\)
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD{\small;}\)
  • \(\displaystyle OA=5{\small.}\)

Требуется найти длину диагонали \(\displaystyle AC{\small.}\)

 

Точка \(\displaystyle O\) лежит на отрезке \(\displaystyle AC{\small,}\) значит,

\(\displaystyle AC=OA+OC{\small.}\)

Длина отрезка \(\displaystyle OA\) известна, найдём длину отрезка \(\displaystyle OC{\small.}\)

 

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle AOB\) и \(\displaystyle COD{\small:}\)

  • Основания трапеции параллельны, то есть \(\displaystyle AB\parallel DC{\small,}\) \(\displaystyle AC\) – секущая, следовательно,

\(\displaystyle \color{red}{\angle BAC}=\color{red}{ \angle DCA}\) – накрест лежащие углы;

  • \(\displaystyle \color{orange}{\angle AOB}=\color{orange}{\angle COD}\) – вертикальные углы.

Значит,

\(\displaystyle \triangle AOB \sim \triangle COD \) по двум углам (по первому признаку подобия)

В подобных треугольниках напротив соответственно равных углов лежат сходственные стороны.

Следовательно,

\(\displaystyle \frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}{\small.}\)

 

Подставим \(\displaystyle AB=7{\small,}\) \(\displaystyle CD=12{,}6{\small,}\) \(\displaystyle OA=5{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{7}{12{,}6}=\frac{5}{OC}{\small.}\)

По пропорции  получаем:

\(\displaystyle OC=\frac{12{,}6 \cdot 5}{7}=\frac{63}{7}=9{\small.}\)

Найдём длину \(\displaystyle AC{\small:}\)

\(\displaystyle AC=OA+OC=5+9=14{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle AC=14{\small.}\)