Skip to main content

Теория: 04 Первый признак подобия треугольников (по двум углам)

Задание

В параллелограмме \(\displaystyle KLMN\) провели высоты \(\displaystyle LP\) и \(\displaystyle LQ\) к сторонам \(\displaystyle KN\) и \(\displaystyle MN\) соответственно. Найдите длину стороны \(\displaystyle LM{\small,}\) если \(\displaystyle KL=12{\small,}\) \(\displaystyle LP=8{\small,}\) \(\displaystyle LQ=9{\small.}\)

\(\displaystyle LM=\)

Решение

\(\displaystyle KLMN\) – параллелограмм:

  • \(\displaystyle KL=12{\small;}\)
  • \(\displaystyle LP\perp KN{\small,}\) \(\displaystyle LP=8{\small;}\)
  • \(\displaystyle LQ\perp MN{\small,}\) \(\displaystyle LQ=9{\small.}\)

Требуется найти длину стороны \(\displaystyle LM{\small.}\)

 

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle KLP\) и \(\displaystyle MLQ{\small:}\)

  • \(\displaystyle \color{red}{\angle K}=\color{red}{\angle M}\) – противоположные углы параллелограмма;
  • \(\displaystyle LP\) и \(\displaystyle LQ\) – высоты к сторонам \(\displaystyle KN\) и \(\displaystyle MN\) соответственно, значит,

\(\displaystyle \angle LPK= 90^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle LQM=90^{\circ}{\small,}\) то есть

\(\displaystyle \color{darkviolet}{\angle LPK}= \color{darkviolet}{\angle LQM} {\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \triangle KLP\sim \triangle MLQ\) по двум углам (по первому признаку подобия)

В подобных треугольниках напротив соответственно равных углов лежат сходственные стороны.

Следовательно,

\(\displaystyle \frac{KL}{LM}=\frac{LP}{LQ}{\small.}\)

 

Подставим \(\displaystyle KL=12{\small,}\) \(\displaystyle LP=8{\small,}\) \(\displaystyle LQ=9{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{12}{LM}=\frac{8}{9}{\small.}\)

По пропорции получаем:

\(\displaystyle LM=\frac{12 \cdot 9}{8}=\frac{108}{8}=13{,}5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle LM=13{,}5{\small.}\)