Skip to main content

Теория: 08 Отношение площадей подобных треугольников

Задание

На стороне \(\displaystyle AC\) треугольника \(\displaystyle ABC\) отметили точку \(\displaystyle M\) так, что \(\displaystyle AM:MC=4:5{\small.}\) Прямая \(\displaystyle ME\) параллельна стороне \(\displaystyle BC\) и пересекает сторону \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle E{\small.}\) Найдите площадь треугольника \(\displaystyle ABC{\small,}\) если площадь треугольника \(\displaystyle AEM\) равна \(\displaystyle 32{\small.}\)

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\) 

Решение

Так как \(\displaystyle ME \parallel BC {\small,} \) \(\displaystyle AC\) – секущая, то \(\displaystyle \angle AME= \angle ACB\) \(\displaystyle (\)как соответственные\(\displaystyle ){\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle AEM\) и \(\displaystyle ABC {\small:} \\ \)

  •  \(\displaystyle \angle AME= \angle ACB{\small,} \\ \)
  •  \(\displaystyle \angle EAM= \angle BAC {\small.}\)

Треугольники \(\displaystyle AEM\) и \(\displaystyle ABC \) подобны по двум углам.

В подобных треугольниках коэффициент подобия \(\displaystyle k\) равен отношению сходственных сторон:

\(\displaystyle k=\frac{AM}{AC}{\small.}\)

 

По условию \(\displaystyle AM:MC=4:5{\small,}\) то есть \(\displaystyle AM=4t{\small,}\) \(\displaystyle MC=5t{\small.}\) Тогда

\(\displaystyle AC=AM+MC=4t+5t=9t{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle k=\frac{AM}{AC}=\frac{4t}{9t}=\frac{4}{9}{\small.}\)

По теореме об отношении площадей подобных треугольников:

\(\displaystyle \frac{S_{\triangle AEM}}{S_{\triangle ABC}}=k^2 {\small,} \\ \)

\(\displaystyle \frac{32}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{4}{9}\right)^2 {\small,} \\ \)

\(\displaystyle \frac{32}{S_{\triangle ABC}}=\frac{16}{81} {\small.} \)

По свойству пропорции:

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{32 \cdot 81}{16}=2 \cdot 81=162{\small.} \\ \)

Ответ: \(\displaystyle S_{\triangle ABC}=162{\small.}\)