Skip to main content

Теория: 08 Отношение площадей подобных треугольников

Задание

Треугольник разрезали на параллелограмм и два треугольника, площади которых равны \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 9{\small.}\) Найдите площадь параллелограмма.

Решение

\(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle M \in AC{\small;}\)
  • \(\displaystyle E \in AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle K \in BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle MEBK\) – параллелограмм;
  • \(\displaystyle S_{\triangle AEM}=4{\small;}\)
  • \(\displaystyle S_{\triangle MKC}=9{\small.}\)

Требуется найти площадь параллелограмма \(\displaystyle MEBK{\small.}\)

 

По свойству площади

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=S_{MEBK}+S_{\triangle AEM}+S_{\triangle MKC}{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle S_{MEBK}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AEM}-S_{\triangle MKC}{\small.}\)

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то

  • \(\displaystyle \angle EAM= \angle KMC\) – соответственные углы при параллельных прямых \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle MK\) и секущей \(\displaystyle AC{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle EMA= \angle KCM\) – соответственные углы при параллельных прямых \(\displaystyle EM\) и \(\displaystyle BC\) и секущей \(\displaystyle AC{\small.}\)

Следовательно, треугольники \(\displaystyle AEM{\small,}\) \(\displaystyle MKC\) и \(\displaystyle ABC\) подобны по двум углам.

 

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle AEM\) и \(\displaystyle MKC{\small.}\)

Пусть \(\displaystyle \triangle AEM\) подобен \(\displaystyle \triangle MKC\) с коэффициентом \(\displaystyle k{\small.}\)

По теореме об отношении площадей подобных треугольников

\(\displaystyle \frac{S_{\triangle AEM}}{S_{\triangle MKC}}=\frac{4}{9}=k^2{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle k=\frac{2}{3}{\small.}\)

Стороны \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle MC\) этих треугольников являются сходственными.

Так как отношение сходственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия, то

\(\displaystyle \frac{AM}{MC}=\frac{2}{3}{\small.}\)

Обозначим \(\displaystyle AM=2t{\small,}\) \(\displaystyle MC=3t{\small,}\)

тогда

\(\displaystyle AC=AM+MC=2t+3t=5t{\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle AEM\) и \(\displaystyle ABC{\small.}\)

  • \(\displaystyle \triangle AEM \sim \triangle ABC{\small,}\)
  • стороны \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle AC\) этих треугольников являются сходственными.

Найдём коэффициент подобия \(\displaystyle p\) треугольников \(\displaystyle AEM\) и \(\displaystyle ABC{\small:}\)

\(\displaystyle p=\frac{AM}{AC}=\frac{2t}{5t}=\frac{2}{5}{\small.}\)

 

По теореме об отношении площадей подобных треугольников

\(\displaystyle \frac{S_{\triangle AEM}}{S_{\triangle ABC}}=p^2=\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle S_{\triangle AEM}=4{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{4}{S_{\triangle ABC}}=\frac{4}{25}{\small.}\)

По свойству пропорции

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{4 \cdot 25}{4}=25{\small.}\)

В результате получаем

\(\displaystyle S_{MEBK}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AEM}-S_{\triangle MKC}=25-4-9=12{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 12{\small.}\)