Skip to main content

Теория: 16 Формулы приведения для острых углов (короткая версия)

Задание

Составьте верное равенство:

\(\displaystyle \sin 30^{\circ}=\) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

СПОСОБ 1

Формулы приведения для острого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами \(\displaystyle a{\small,}\) \(\displaystyle b\) и гипотенузой \(\displaystyle c{\small.}\)

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90^{\circ}{\small.}\)

Пусть один острый угол прямоугольного треугольника равен \(\displaystyle \color{red}{\alpha}{\small,}\) тогда второй острый угол равен \(\displaystyle (\color{darkviolet}{90^{\circ}-\alpha}){\small.}\)

 

Запишем тригонометрические функции для углов \(\displaystyle \color{red}{\alpha}\) и \(\displaystyle (\color{darkviolet}{90^{\circ}-\alpha})\) по определению (через отношение сторон прямоугольного треугольника):

 

\(\displaystyle \sin \color{red}{\alpha}=\frac{\color{blue}{a}}{\color{blue}{c}}=\cos(\color{darkviolet}{90^{\circ}-\alpha})\\ \)

\(\displaystyle \cos \color{red}{\alpha}=\frac{\color{blue}{b}}{\color{blue}{c}}=\sin(\color{darkviolet}{90^{\circ}-\alpha})\\ \)

\(\displaystyle \tg \color{red}{\alpha}=\frac{\color{blue}{a}}{\color{blue}{b}}=\ctg (\color{darkviolet}{90^{\circ}-\alpha})\\ \)

\(\displaystyle \ctg \color{red}{\alpha}=\frac{\color{blue}{b}}{\color{blue}{a}}=\tg (\color{darkviolet}{90^{\circ}-\alpha})\)

По формулам приведения получаем

\(\displaystyle \sin 30^{\circ}=\cos (90^{\circ}-30^{\circ})=\cos 60^{\circ}{\small.}\)

СПОСОБ 2

Вспомним табличные значения тригонометрических функций углов \(\displaystyle 30^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle 45^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle 60^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle \alpha\)\(\displaystyle 30^{\circ}\)\(\displaystyle 45^{\circ}\)\(\displaystyle 60^{\circ}\)
\(\displaystyle \sin \alpha\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\displaystyle \cos \alpha\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \tg \alpha\)\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle \sqrt{3}\)
\(\displaystyle \ctg \alpha\)\(\displaystyle \sqrt{3}\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)

По таблице видим, что \(\displaystyle \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}\) и \(\displaystyle \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle \sin 30^{\circ}=\cos 60^{\circ}{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle \sin 30^{\circ}=\cos 60^{\circ}{\small.}\)