Skip to main content

Теория: Свойство и признак вписанного четырёхугольника

Задание

Продолжения сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) вписанного в окружность четырёхугольника \(\displaystyle ABCD\) пересекаются в точке \(\displaystyle M{\small.}\) Найдите длину отрезка \(\displaystyle AM{\small,}\) если \(\displaystyle AD=15{\small,}\) \(\displaystyle BC=6{\small,}\) \(\displaystyle MC=4{\small.}\)

\(\displaystyle AM=\)\(\displaystyle {\small.}\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – вписанный четырёхугольник:

  • \(\displaystyle M\) – точка пересечения прямых \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle AD=15{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=6{\small;}\)
  • \(\displaystyle MC=4{\small.}\)

Требуется найти длину отрезка \(\displaystyle AM{\small.}\)

 

Заметим, что

\(\displaystyle \angle MDA=\angle MBC{\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle MBC\) и \(\displaystyle MDA{\small.}\)

  • \(\displaystyle \angle M\) – общий;
  • \(\displaystyle \angle MDA=\angle MBC {\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle MBC \sim \triangle MDA\)

по двум углам.

Значит,

\(\displaystyle \frac{MC}{AM}=\frac{BC}{AD}{\small.}\)

По свойству пропорции получаем:

\(\displaystyle AM=\frac{MC \cdot AD}{BC}{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle AM=\frac{4 \cdot 15}{6}=10{\small.}\)

Ответ:\(\displaystyle AM=10{\small.}\)