Skip to main content

Теория: Лекции по теме формулы сокращенного умножения (вторая степень)

Задание

Докажем алгебраическим способом формулу:

Правило

Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b\) верно следующее тождество:

\(\displaystyle (a-b\,)^2=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}.\)

Решение

Согласно определению степени,

\(\displaystyle (a-b\,)^2=(a-b\,)\cdot (a-b\,).\)

Перемножим скобки:

\(\displaystyle \begin{aligned} (\color{green}{a}-\color{blue}{b}\,)\cdot (a-b\,)=\color{green}{a}\cdot (a-b\,)-&\color{blue}{b}\cdot (a-b\,)= \\[10px] &=\color{green}{a}\cdot a-\color{green}{a}\cdot b-\color{blue}{b}\cdot a+\color{blue}{b}\cdot b=a^{\, 2}-a\cdot b-b\cdot a+b^{\, 2}. \end{aligned}\)

Так как \(\displaystyle a\cdot b= b\cdot a,\) то

\(\displaystyle a^{\, 2}\underbrace{-a\cdot b-b \cdot a}_{-2ab}+b^{\, 2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (\pmb{a}-\pmb{b}\,)^2=\pmb{a}^{\, 2}-2\pmb{a}\pmb{b}+\pmb{b}^{\, 2}.\)