Мастер может выполнить заказ за \(\displaystyle 150\)минут, один его ученик – за \(\displaystyle 210\)минут, другой его ученик – за \(\displaystyle 225\)минут. За сколько минут выполнят заказ три работника, работая вместе?
минут
Каким следует считать среднее время выполнения заказа для трех данных работников?
Задача, которую требуется решить, – аналог задачи на скорость и расстояние. В данном случае:
- расстояние – это объем заказа;
- скорость – это доля заказа, которая выполняется в час.
Поэтому для нахождения времени выполнения заказа нужно объем заказа разделить на общую скорость выполнения заказа тремя работниками.
Обозначим объем заказа за \(\displaystyle 1{\small .}\)
Мастер тратит на выполнение заказа \(\displaystyle 150\)минут, первый ученик – \(\displaystyle 210\), второй – \(\displaystyle 225\)минут.
Посчитаем скорость выполнения заказа.
За одну минуту:
- мастер выполнит \(\displaystyle \frac{1}{150}\) часть заказа,
- первый ученик выполнит \(\displaystyle \frac{1}{210}\) часть заказа,
- второй ученик – \(\displaystyle \frac{1}{225}\) часть заказа.
Работая вместе, они за один час выполнят
\(\displaystyle \frac{1}{150}+\frac{1}{210}+\frac{1}{225}=\frac{21+15+14}{3150}=\frac{50}{3150}=\frac{1}{63}\)часть заказа.
Найдём время выполнения заказа при совместной работе, разделив объем заказа на скорость его выполнения:
\(\displaystyle 1:\frac{1}{63}=63\)минуты.
Если мы заменим трех данных работников на трех "усредненных" работников одинаковой квалификации, работающих вместе с той же скоростью, что и три данных работника, то они сделают заказ за \(\displaystyle 63\)минуты. Тогда каждый из трех "усредненных" работников сделает заказ за \(\displaystyle 189\)минут.
Значит, среднее время выполнения заказа для трех данных работников следует считать равным \(\displaystyle 189\)минут.
Ответ: три работника, работая вместе, выполнят заказ за \(\displaystyle 63\)минуты; среднее время выполнения заказа для трех данных работников следует считать равным \(\displaystyle 189\)минут.
В ходе решения задачи среднее время выполнения заказа получили в виде
\(\displaystyle {\text среднее}\ {\text время}=\frac{\phantom{1}{3}\phantom{1}}{{\dfrac{\vphantom{1^{1}}1}{ \color{green}{150}}+\dfrac{1}{\color{orange}{210}}+\dfrac{1}{\color{purple}{225}}}}\small.\)
Таким образом, среднее время является средним гармоническим времени выполнения заказа мастером \(\displaystyle (\color{green}{150})\small,\) времени выполнения заказа первым учеником \(\displaystyle (\color{orange}{210})\) и времени выполнения заказа вторым учеником \(\displaystyle (\color{purple}{225})\) в минутах.