Телефон передает SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна \(\displaystyle 0{,}4{\small .}\) Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется ровно \(\displaystyle n\) попыток.
В отдельной попытке вероятность передать сообщение без ошибки равна \(\displaystyle 0{,}4.\) Значит, вероятность передать сообщение с ошибкой равна \(\displaystyle 1-0{,}4=0{,}6.\)
Обозначим через \(\displaystyle A\) событие "сообщение передано без ошибки с \(\displaystyle n\)-го раза".
Событие \(\displaystyle A\) состоит из цепочки \(\displaystyle n\) независимых событий:
\(\displaystyle X_1 \) – "в первой попытке сообщение передано с ошибкой", \(\displaystyle P(X_1)=0{,}6;\)
\(\displaystyle X_2 \) – "во второй попытке сообщение передано с ошибкой", \(\displaystyle P(X_2)=0{,}6;\)
...
\(\displaystyle X_{n-1} \) – "в \(\displaystyle (n-1) \)-й попытке сообщение передано с ошибкой", \(\displaystyle P(X_{n-1})=0{,}6;\)
\(\displaystyle Y\) – "в \(\displaystyle n\)-той попытке сообщение передано без ошибки", \(\displaystyle P(Y)=0{,}4.\)
Событие \(\displaystyle A\) произойдет, если события \(\displaystyle X_1 ,\) \(\displaystyle X_2 ,\) ... \(\displaystyle X_{n-1} \) и \(\displaystyle Y\) наступят одновременно. Значит,
\(\displaystyle B=X_1 \cap X_2 \cap ... \cap X_{n-1} \cap Y\small.\)
Воспользуемся формулой вычисления вероятности пересечения независимых событий:
\(\displaystyle P(A)=P(X_1 \cap X_2 \cap ... \cap X_{n-1} \cap Y)=P(X_1)\cdot P(X_2)\cdot ... \cdot P(X_{n-1})\cdot P(Y)=\)
\(\displaystyle =0{,}6 \cdot 0{,}6 \cdot ... \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4=0{,}6^{n-1} \cdot 0{,}4.\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}6^{n-1} \cdot 0{,}4.\)