Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью \(\displaystyle 0{,}2\) при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее \(\displaystyle 0{,}5{\small ?}\)
Обозначим события:
- \(\displaystyle A_n\) – "стрелок за \(\displaystyle n\) выстрелов хотя бы один раз поразил мишень",
- \(\displaystyle X_{1}\) – "стрелок поразил мишень при первом выстреле",
- \(\displaystyle X_{2}\) – "стрелок поразил мишень при втором выстреле",
- \(\displaystyle X_{3}\) – "стрелок поразил мишень при третьем выстреле",
- ...
- \(\displaystyle X_{n}\) – "стрелок поразил мишень при \(\displaystyle n\)-ом выстреле".
Тогда по условию необходимо найти \(\displaystyle n{ \small ,}\) при котором
\(\displaystyle P(A_n)\geqslant0{,}5\small.\)
Тогда \(\displaystyle \overline{A_n}\) – стрелок ни разу не попал за \(\displaystyle n\) выстрелов и
\(\displaystyle P(\overline{A_n})=1-P(A_n)\small.\)
С другой стороны,
\(\displaystyle \overline{A_n}=\overline{X_1}\cap\overline{X_2}\cap\overline{X_3}\cap\,\dots\,\cap\overline{X_n}\small,\)
где \(\displaystyle \overline{X_i}\) – стрелок не попал в мишень при \(\displaystyle i\)-ом выстреле.
События не попасть в мишень при первом, втором, \(\displaystyle \dots\,,\,n\)-ом выстреле независимые. Значит,
\(\displaystyle P(\overline{A_n})=P(\overline{X_1}\cap\overline{X_2}\cap\overline{X_3}\cap\,\dots\,\cap\overline{X_n})=P(\overline{X_1})\cdot P(\overline{X_2})\cdot\,\dots\,\cdot P(\overline{X_n})\small.\)
Перепишем исходное неравенство, используя полученные результаты:
\(\displaystyle P(A_n)\geqslant0{,}5\small,\)
\(\displaystyle 1-P(\overline{A_n})\geqslant0{,}5\small,\)
\(\displaystyle 1-(0{,}8)^n\geqslant0{,}5\small,\)
\(\displaystyle (0{,}8)^n\leqslant0{,}5\small.\)
Чтобы решить неравенство, будем увеличивать значения \(\displaystyle n{ \small ,}\) пока не получим число \(\displaystyle \leqslant 0{,}5{\small:}\)
- \(\displaystyle n=1\) и \(\displaystyle (0{,}8)^1=0{,}8>0{,}5\small,\)
- \(\displaystyle n=2\) и \(\displaystyle (0{,}8)^2=0{,}8\cdot0{,}8=0{,}64>0{,}5\small,\)
- \(\displaystyle n=3\) и \(\displaystyle (0{,}8)^3=0{,}8\cdot0{,}64=0{,}512>0{,}5\small,\)
- \(\displaystyle n=4\) и \(\displaystyle (0{,}8)^3=0{,}8\cdot0{,}512=0{,}4096<0{,}5\small.\)
Значит, если стрелку дать\(\displaystyle 4\)или более патронов, он поразит цель с вероятностью не менее \(\displaystyle 0{,}5\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 4\small.\)