Skip to main content

Теория: Испытания до первого успеха. Вероятности элементарных событий

Задание

Телефон передает SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна \(\displaystyle 0{,}4{\small .}\)  Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше трёх попыток.

0,784
Решение

В отдельной попытке  вероятность передать сообщение без ошибки равна \(\displaystyle 0{,}4.\) Значит, вероятность передать сообщение с ошибкой равна \(\displaystyle 1-0{,}4=0{,}6.\)

 

Обозначим события:

  • \(\displaystyle A \) – "сообщение передано без ошибки с первого раза",
  • \(\displaystyle B\) – "сообщение передано без ошибки со второго раза",
  • \(\displaystyle C\) – "сообщение передано без ошибки с третьего раза".

Следовательно, событие "сообщение передано не более чем с трёх попыток" равно объединению событий \(\displaystyle A\small,\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\small.\) Нам нужно найти значение \(\displaystyle P(A\cup B\cup C)\small.\)

Заметим, что без ошибки сообщение может быть передано либо с первого раза, либо со второго.

Значит, события \(\displaystyle A\small\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) несовместны. 

 

Воспользуемся формулой.

Правило

Формула сложения вероятностей

Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей:

\(\displaystyle P(A \cup B)=P(A) + P(B){\small.}\)

 

По условию задачи

\(\displaystyle P(A)=0{,}4\small.\) 

Найдём вероятность события \(\displaystyle B.\)

Событие \(\displaystyle B\)  состоит из цепочки двух независимых событий:

  1.  \(\displaystyle X \) – "в первой попытке сообщение передано с ошибкой", \(\displaystyle P(X)=0{,}6;\)
  2.  \(\displaystyle Y\) – "во второй попытке сообщение передано без ошибки", \(\displaystyle P(Y)=0{,}4.\)

Событие \(\displaystyle B\) произойдет, если события \(\displaystyle X\) и \(\displaystyle Y\) наступят одновременно. Значит,

\(\displaystyle B=X\cap Y\small.\)

Воспользуемся формулой вычисления вероятности пересечения независимых событий:

\(\displaystyle P(B)=P(X \cap Y)=P(X)\cdot P(Y)=0{,}6 \cdot 0{,}4=0{,}24.\)

 

Найдём вероятность события \(\displaystyle C.\)

Событие \(\displaystyle C\)  состоит из цепочки трёх независимых событий:

  1.  \(\displaystyle X_1 \) – "в первой попытке сообщение передано с ошибкой", \(\displaystyle P(X_1)=0{,}6;\)
  2.  \(\displaystyle X_2 \) – "во второй попытке сообщение передано с ошибкой", \(\displaystyle P(X_2)=0{,}6;\)
  3.  \(\displaystyle Y\) – "в третьей попытке сообщение передано без ошибки", \(\displaystyle P(Y)=0{,}4.\)

Событие \(\displaystyle C\) произойдет, если события \(\displaystyle X_1 ,\) \(\displaystyle X_2 \) и \(\displaystyle Y\) наступят одновременно. Значит,

\(\displaystyle C=X_1 \cap X_2 \cap Y\small.\)

Воспользуемся формулой вычисления вероятности пересечения независимых событий:

\(\displaystyle P(C)=P(X_1 \cap X_2 \cap Y)=P(X_1)\cdot P(X_2)\cdot P(Y)=\)

\(\displaystyle =0{,}6 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4=0{,}144.\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle P(A \cup B\cup C)=P(A) + P(B) +P(C)= 0{,}4+0{,}24+0{,}144=0{,}784 .\)

Ответ: \(\displaystyle 0{,}784.\)