Skip to main content

Теория: Испытания до первого успеха. Вероятности элементарных событий

Задание

Телефон передает SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна \(\displaystyle 0{,}1{\small .}\)  Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется больше двух попыток.

0,81
Решение

В отдельной попытке  вероятность передать сообщение без ошибки равна \(\displaystyle 0{,}1.\) Значит, вероятность передать сообщение с ошибкой равна \(\displaystyle 1-0{,}1=0{,}9.\)

Обозначим через \(\displaystyle A\) событие "для передачи сообщения потребуется больше двух попыток".

Тогда противоположное событие \(\displaystyle \overline{A}\) – "для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток".

 

Следовательно, событие \(\displaystyle \overline{A}\) – "для передачи сообщения потребуется одна или две попытки".

 

Обозначим события:

  • \(\displaystyle B \) – "сообщение передано без ошибки с первого раза",
  • \(\displaystyle C\) – "сообщение передано без ошибки со второго раза".

Тогда событие \(\displaystyle \overline{A}\) равно объединению событий \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\small.\) Нам нужно найти значение \(\displaystyle P(B\cup C)\small.\)

Заметим, что без ошибки сообщение может быть передано либо с первого раза, либо со второго. Значит, события \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) несовместны,

\(\displaystyle P(B \cup C)=P(B) + P(C){\small.}\)

 

По условию задачи \(\displaystyle P(B)=0{,}1\small.\) 

 

Найдем вероятность события \(\displaystyle C.\)

Событие \(\displaystyle C\)  состоит из цепочки двух независимых событий:

  1.  \(\displaystyle X \) – "в первой попытке сообщение передано с ошибкой", \(\displaystyle P(X)=0{,}9;\)
  2.  \(\displaystyle Y\) – "во второй попытке сообщение передано без ошибки", \(\displaystyle P(Y)=0{,}1.\)

Событие \(\displaystyle C\) произойдет, если события \(\displaystyle X\) и \(\displaystyle Y\) наступят одновременно. Значит, \(\displaystyle C=X\cap Y\small.\)

 

Воспользуемся формулой вычисления вероятности пересечения независимых событий:

\(\displaystyle P(C)=P(X \cap Y)=P(X)\cdot P(Y)=0{,}9 \cdot 0{,}1=0{,}09.\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle P(B \cup C)=P(B) + P(C)= 0{,}1+0{,}09=0{,}19 .\)

\(\displaystyle P (\overline{A})=P(B \cup C)=0{,}19 .\)

 

Следовательно,

\(\displaystyle P({A})=1-P(\overline{A})=1-0{,}19=0{,}81\small.\)

 

Ответ: \(\displaystyle 0{,}81.\)