Маша бросила три монеты, загадав, что выпадет ровно три орла. Что является успехом, а что — неудачей в данном испытании? Найдите вероятность успеха и вероятность неудачи.
Маша бросила три монеты, загадав, что выпадет ровно три орла.
В этом случае успехом будет выпадение ровно трёх орлов, а неудачей — выпадение не трёх орлов.
Найдём вероятность выпадения ровно трёх орлов.
Если в случайном опыте конечное число элементарных событий и все они равновозможны, то вероятность \(\displaystyle P(A)\) события \(\displaystyle A\) равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle A\small,\) к общему числу элементарных событий:
\(\displaystyle P(A)=\frac{\text{число благоприятствующих элементарных событий}}{\text{число всех элементарных событий}}\)
Сначала найдём число всех элементарных событий.
Затем найдём число элементарных событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle A\) "Выпало ровно три орла".
Бросание монеты – это случайный опыт, который может окончиться либо орлом (О), либо решкой (Р).
Элементарные события будем записывать с помощью трёх букв, первая буква обозначает результат первого броска, вторая буква – результат второго броска, третья буква – результат третьего броска. Если мы бросим монету три раза, то такой эксперимент может окончиться одним из восьми элементарных событий:
| № | Элементарное событие |
| 1 | ООО |
| 2 | ООР |
| 3 | ОРО |
| 4 | ОРР |
| 5 | РОО |
| 6 | РОР |
| 7 | РРО |
| 8 | РРР |
Перечисленные элементарные события равновозможны. Итак, число всех элементарных событий равно\(\displaystyle \color{green}{8}{\small .}\)
В каждом элементарном событии найдём количество выпавших орлов.
| № | Элементарное событие | Сколько выпало Орлов |
| 1 | ООО | \(\displaystyle 3\) |
| 2 | ООР | \(\displaystyle 2\) |
| 3 | ОРО | \(\displaystyle 2\) |
| 4 | ОРР | \(\displaystyle 1\) |
| 5 | РОО | \(\displaystyle 2\) |
| 6 | РОР | \(\displaystyle 1\) |
| 7 | РРО | \(\displaystyle 1\) |
| 8 | РРР | \(\displaystyle 0\) |
Тогда событие "Выпало ровно три орла" происходит в одном исходе № 1.
Число элементарных событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle A{\small ,}\) равно \(\displaystyle \color{red}{1}{\small .}\)
Найдём вероятность \(\displaystyle P(A)\) наступления события \(\displaystyle A\) по правилу:
\(\displaystyle P(A)=\frac{\text{число благоприятствующих элементарных событий}}{\text{число всех элементарных событий}}=\frac{\color{red}{1}}{\color{green}8}{\small .}\)
Неудача – это событие, противоположное к событию \(\displaystyle A\) событие \(\displaystyle \overline{A}{ \small .}\)
Тогда
\(\displaystyle P(\overline{A})=1-P(A){\small ,}\)
\(\displaystyle P(\overline{A})=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}{\small .}\)
Тогда вероятность неудачи составляет \(\displaystyle P(\overline{A})=\frac{7}{8}{\small .}\)
Ответ: успех — выпадение ровно трёх орлов, неудача — выпадение не трёх орлов, вероятность успеха составляет \(\displaystyle \frac{1}{8}\small,\) вероятность неудачи составляет \(\displaystyle \frac{7}{8}\small.\)