Маша бросила четыре монеты, загадав, что выпадет не меньше двух решек. Что является успехом, а что — неудачей в данном испытании? Найдите вероятность успеха и вероятность неудачи.
Маша бросила четыре монеты, загадав, что выпадет не меньше двух решек.
В этом случае успехом будет выпадение не меньше двух решек: двух решек, трёх решек и четырёх решек, а неудачей — меньше двух решек.
Найдём вероятность выпадения не меньше двух решек.
Если в случайном опыте конечное число элементарных событий и все они равновозможны, то вероятность \(\displaystyle P(A)\) события \(\displaystyle A\) равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle A\small,\) к общему числу элементарных событий:
\(\displaystyle P(A)=\frac{\text{число благоприятствующих элементарных событий}}{\text{число всех элементарных событий}}\)
Сначала найдём число всех элементарных событий.
Затем найдём число элементарных событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle A\) "Выпало не меньше двух решек".
Бросание монеты – это случайный опыт, который может окончиться либо орлом (О), либо решкой (Р).
Элементарные события будем записывать с помощью четырех букв, первая буква обозначает результат первого броска, вторая буква – результат второго броска, третья буква – результат третьего броска, четвёртая буква – результат четвёртого броска. Если мы бросим монету четыре раза, то такой эксперимент может окончиться одним из шестнадцати элементарных событий:
| № | Элементарное событие |
| 1 | ОООО |
| 2 | ОООР |
| 3 | ООРО |
| 4 | ООРР |
| 5 | ОРОО |
| 6 | ОРОР |
| 7 | ОРРО |
| 8 | ОРРР |
| 9 | РООО |
| 10 | РООР |
| 11 | РОРО |
| 12 | РОРР |
| 13 | РРОО |
| 14 | РРОР |
| 15 | РРРО |
| 16 | РРРР |
Перечисленные элементарные события равновозможны. Итак, число всех элементарных событий равно\(\displaystyle \color{green}{16}{\small .}\)
В каждом элементарном событии найдём количество выпавших решек.
| № | Элементарное событие | Сколько выпало Решек |
| 1 | ОООО | \(\displaystyle 0\) |
| 2 | ОООР | \(\displaystyle 1\) |
| 3 | ООРО | \(\displaystyle 1\) |
| 4 | ООРР | \(\displaystyle \color{blue}{2}\) |
| 5 | ОРОО | \(\displaystyle 1\) |
| 6 | ОРОР | \(\displaystyle \color{blue}{2}\) |
| 7 | ОРРО | \(\displaystyle \color{blue}{2}\) |
| 8 | ОРРР | \(\displaystyle \color{blue}{3}\) |
| 9 | РООО | \(\displaystyle 1\) |
| 10 | РООР | \(\displaystyle \color{blue}{2}\) |
| 11 | РОРО | \(\displaystyle \color{blue}{2}\) |
| 12 | РОРР | \(\displaystyle \color{blue}{3}\) |
| 13 | РРОО | \(\displaystyle \color{blue}{2}\) |
| 14 | РРОР | \(\displaystyle \color{blue}{3}\) |
| 15 | РРРО | \(\displaystyle \color{blue}{3}\) |
| 16 | РРРР | \(\displaystyle \color{blue}{4}\) |
Тогда событие "Выпало не меньше двух решек" происходит в одиннадцати исходах - в исходах №№ 4, 6, 7, 8, 10,11,12,13,14,15,16.
Число элементарных событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle A{\small ,}\) равно \(\displaystyle \color{red}{11}{\small .}\)
Найдём вероятность \(\displaystyle P(A)\) наступления события \(\displaystyle A\) по правилу:
\(\displaystyle P(A)=\frac{\text{число благоприятствующих элементарных событий}}{\text{число всех элементарных событий}}=\frac{\color{red}{11}}{\color{green}{16}}{\small .}\)
Неудача – это событие, противоположное к событию \(\displaystyle A\) событие \(\displaystyle \overline{A}{ \small .}\)
Тогда
\(\displaystyle P(\overline{A})=1-P(A){\small ,}\)
\(\displaystyle P(\overline{A})=1-\frac{11}{16}=\frac{5}{16}{\small .}\)
Тогда вероятность неудачи составляет \(\displaystyle P(\overline{A})=\frac{5}{16}{\small .}\)
Ответ: успех — выпадение не меньше двух решек, неудача — выпадение меньше двух решек, вероятность успеха составляет \(\displaystyle \frac{11}{16}\small,\) вероятность неудачи составляет \(\displaystyle \frac{5}{16}\small.\)