Теория: Дополнение до полного квадрата разности - 2

Так как надо дополнить квадрат второго слагаемого, то рассмотрим неизвестное и выражение \(\displaystyle 47k^{\,2}\) как единое целое:

\(\displaystyle r^{\,2}-16rk+\,\color{red}{?}+47k^{\,2}=r^{\,2}-16rk+\color{red}{(\,?+47k^{\,2})}.\)

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle r^{\,2}-16rk+\color{red}{(\,?+47k^{\,2})}\)

является полным квадратом разности, и необходимо найти второй квадрат.

Следовательно,

\(\displaystyle r^{\,2}-16rk+\color{red}{(\,?+47k^{\,2})}=(a-b\,)^2,\)

\(\displaystyle r^{\,2}-16rk+\color{red}{(\,?+47k^{\,2})}=a^{\, 2}-2ab+\color{red}{b^{\, 2}}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Нам известен один квадрат и удвоенное произведение:

\(\displaystyle r^{\,2}=a^{\, 2},\)

\(\displaystyle 16rk=2ab,\)

но неизвестен второй квадрат:

\(\displaystyle \color{red}{(\,?+47k^{\,2})}=b^{\,2}.\)

Из того, что \(\displaystyle a^{\, 2}=r^{\,2},\) следует, что \(\displaystyle a=r\) или \(\displaystyle a=-r.\)

Выберем вариант со знаком плюс "+", то есть \(\displaystyle a=r.\)

Тогда, подставляя вместо \(\displaystyle a\) число \(\displaystyle r\) в равенство \(\displaystyle 16rk=2ab,\) получаем:

\(\displaystyle 16rk=2\cdot r \cdot b,\)

\(\displaystyle b=\frac{16rk}{2\cdot r},\)

\(\displaystyle b=8k.\)

Далее можно найти недостающее значение:

\(\displaystyle \color{red}{?+47k^{\,2}}=(8k\,)^2,\)

\(\displaystyle \color{red}{?+47k^{\,2}}=8^2k^{\,2},\)

\(\displaystyle \color{red}{?+47k^{\,2}}=64k^{\,2},\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=64k^{\,2}-47k^{\,2},\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=17k^{\,2}.\)

Таким образом, 

\(\displaystyle r^{\,2}-16rk+\,\color{red}{?}+47k^{\,2}=r^{\,2}-16rk \color{red}{+17k^{\,2}}+47k^{\,2}\)

и

\(\displaystyle r^{\,2}-16rk \,{\bf \, + \,17}\pmb{k}^{\,\bf 2}+47k^{\,2}=(\pmb{r}-{\bf 8}\pmb{k}\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle r^{\,2}-16rk \,{\bf \, + \,17}\pmb{k}^{\,\bf 2}+47k^{\,2}=(\pmb{r}-{\bf 8}\pmb{k}\,)^2.\)