Считая параметры \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) положительными, дополните до удвоенного произведения так, чтобы после приведения подобных получился полный квадрат разности положительных чисел, и запишите его:
\(\displaystyle (3x\,)^2\)\(\displaystyle -3xy+(4y\,)^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Так как надо дополнить до удвоенного произведения, то рассмотрим неизвестную и известную части как единое целое.
Поскольку мы ищем квадрат разности, то возьмем неизвестную часть со знаком минус "-":
\(\displaystyle (3x\,)^2 -\,\color{red}{ ?} -3xy+(4y\,)^2=(3x\,)^2 -\color{red}{(\,?+3xy\,)}+(4y\,)^2.\)
Нам известно, что выражение
\(\displaystyle (3x\,)^2 -\color{red}{(\,?+3xy\,)}+(4y\,)^2\)
является полным квадратом разности, в котором необходимо найти удвоенное произведение.
Следовательно,
\(\displaystyle (3x\,)^2-\color{red}{(\,?+3xy\,)}+(4y\,)^2=(a-b\,)^2,\)
\(\displaystyle (3x\,)^2 -\color{red}{(\,?+3xy\,)}+(4y\,)^2=a^{\,2}-\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Нам известны квадраты:
\(\displaystyle a^{\,2}=(3x\,)^2,\)
\(\displaystyle b^{\,2}=(4y\,)^2,\)
но удвоенное произведение не известно:
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}\color{red}{(\,?+3xy\,)}.\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{3x}\) или \(\displaystyle \color{green}{-3x},\, b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{4y}\) или \(\displaystyle \color{green}{-4y}.\)
Поскольку параметры \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) положительны и нам требуется получить квадрат разности положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":
\(\displaystyle a=\color{blue}{3x},\)
\(\displaystyle b=\color{blue}{4y}.\)
Тогда
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 3x\cdot 4y,\)
\(\displaystyle 2ab=24xy.\)
Следовательно,
\(\displaystyle \color{red}{ ?+3xy}=24xy,\)
\(\displaystyle \color{red}{ ?}=24xy-3xy,\)
\(\displaystyle \color{red}{ ?}=21xy.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (3x\,)^2 -\,\color{red}{ ?}-3xy+(4y\,)^2=(3x\,)^2 {\bf-}\color{red}{ 21xy}-3xy+(4y\,)^2\)
и
\(\displaystyle (3x\,)^2 {\bf -\,21}\pmb{x}\pmb{y}-3xy+(4y\,)^2=({\bf 3}\pmb{x}-{\bf 4}\pmb{y}\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (3x\,)^2 {\bf -\,21}\pmb{x}\pmb{y}-3xy+(4y\,)^2=({\bf 3}\pmb{x}-{\bf 4}\pmb{y}\,)^2.\)