Skip to main content

Теория: Признаки (короткая версия)

Задание

На клетчатой бумаге изображён четырёхугольник \(\displaystyle ABCD{\small.}\) Является ли данный четырёхугольник прямоугольником?

Решение

 

Выполним дополнительные построения.

 

 

Впишем данный четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) в прямоугольник \(\displaystyle KLMN{\small,}\) образованный линиями сетки.

 

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle ALB{\small,}\) \(\displaystyle BMC{\small,}\) \(\displaystyle CND{\small,}\) \(\displaystyle AKD{\small.}\)

  • \(\displaystyle \color{red}{\triangle ALB}=\color{red}{\triangle CND}\) по двум катетам. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны:

\(\displaystyle \color{blue}{AB}=\color{blue}{CD}{\small.}\)

  • \(\displaystyle \color{green}{\triangle AKD}=\color{green}{\triangle BMC}\) по двум катетам. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны:

\(\displaystyle \color{blue}{AD}=\color{blue}{BC}{\small.}\)

 

В четырёхугольнике \(\displaystyle ABCD\) противоположные стороны попарно равны.

Значит, по признаку

\(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм.


Треугольники \(\displaystyle ALB{\small,}\) \(\displaystyle BMC{\small,}\) \(\displaystyle CND{\small,}\) \(\displaystyle AKD\) – прямоугольные и равнобедренные.

Значит, острые углы этих треугольников равны по \(\displaystyle 45^{\circ}{\small.}\) Тогда

  • \(\displaystyle \angle A=180^{\circ}-\color{green}{45^{\circ}}-\color{red}{45^{\circ}}=\color{blue}{90^{\circ}}{\small;}\\ \)
  • \(\displaystyle \angle B=180^{\circ}-\color{green}{45^{\circ}}-\color{red}{45^{\circ}}=\color{blue}{90^{\circ}}{\small;}\\ \)
  • \(\displaystyle \angle C=180^{\circ}-\color{green}{45^{\circ}}-\color{red}{45^{\circ}}=\color{blue}{90^{\circ}}{\small;}\\ \)
  • \(\displaystyle \angle D=180^{\circ}-\color{green}{45^{\circ}}-\color{red}{45^{\circ}}=\color{blue}{90^{\circ}}{\small.}\)

Следовательно, по определению

\(\displaystyle ABCD\) – прямоугольник.

Ответ: Да.