Skip to main content

Теория: Признаки (короткая версия)

Задание

Диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) параллелограмма \(\displaystyle ABCD\) пересекаются в точке \(\displaystyle O{\small,}\) \(\displaystyle AC=27\, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle BO=13{,}5\, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle OD=13{,}5\, {\footnotesize см}{\small.}\) Найдите угол \(\displaystyle ABD{\small,}\) если \(\displaystyle \angle CBD=36^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle \angle ABD=\) \(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм:

  • \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) – диагонали;
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей;
  • \(\displaystyle AC=27\, \footnotesize см{\small;}\)
  • \(\displaystyle BO=OD=13{,}5\, \footnotesize см{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle CBD=36^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти \(\displaystyle \angle ABD{\small.}\)


По условию, \(\displaystyle BO=OD=13{,}5\, \footnotesize см{\small,}\) тогда

\(\displaystyle BD=BO+OD=13{,}5+13{,}5=27\, \footnotesize см{\small.}\)

Получаем:

\(\displaystyle BD=AC=27\, \footnotesize см{\small.}\)

То есть диагонали параллелограмма \(\displaystyle ABCD\) равны.

Значит, по признаку

\(\displaystyle ABCD\) – прямоугольник.

 

По определению, в прямоугольнике все углы прямые.

При этом

\(\displaystyle \color{green}{\angle ABC}=\color{red}{\angle ABD}+\color{blue}{ \angle CBD}{\small.}\)

Выразим угол \(\displaystyle ABD{\small:}\)

\(\displaystyle \color{red}{\angle ABD}=\color{green}{\angle ABC}- \color{blue}{ \angle CBD}{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle \angle ABC=90^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle \angle CBD=36^{\circ}{\small:}\)

\(\displaystyle \color{red}{\angle ABD}=\color{green}{90^{\circ}}-\color{blue}{36^{\circ}}=\color{red}{54^{\circ}}{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle \angle ABD=54^{\circ}{\small.}\)