События \(\displaystyle D{\small ,}\,E\) и \(\displaystyle F\) независимы.
Известны вероятности:
\(\displaystyle P(E)=\frac{1}{4} {\small ,}\,\,P(F)=\frac{8}{11}\) и \(\displaystyle P(D \cap E \cap F)=\frac{2}{13} {\small .}\)
Найдите вероятность события \(\displaystyle D {\small.}\)
По условию события \(\displaystyle D{\small ,}\,E\) и \(\displaystyle F\) независимы.
Независимые события
События \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:
\(\displaystyle P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) {\small .}\)
Аналогично можно говорить о независимости трёх, четырёх и более событий.
Значит,
\(\displaystyle P(D \cap E \cap F)=P(D) \cdot P(E) \cdot P(F){\small .}\)
Выразим \(\displaystyle P(D) {\small :}\)
\(\displaystyle P(D)=\frac{P(D \cap E \cap F)}{P(E) \cdot P(F) } {\small }\)
и подставим известные значения вероятностей.
Получим
\(\displaystyle P(D)=\frac{\dfrac{2}{13}}{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{8}{11}}=\frac{11}{13}{\small. }\)
Ответ: \(\displaystyle P(D)=\frac{11}{13}{\small. }\)