Дан набор из \(\displaystyle 10\) чисел:
\(\displaystyle 9,\ 8,\ 7,\ 4,\ 3,\ 9,\ 1,\ 7,\ 4, \ 8\small.\)
Найдите среднее значение \(\displaystyle \overline{x}\small.\)
\(\displaystyle \overline{x}=\)
Вычислите точное значение стандартного отклонения \(\displaystyle S\small,\) найденное значение с помощью калькулятора округлите до десятых.
Сколько чисел набора принадлежат отрезку \(\displaystyle [\overline{x}-S;\overline{x}+S]\small?\)
Сколько чисел набора принадлежат отрезку \(\displaystyle [\overline{x}-2S;\overline{x}+2S]\small?\)
Сколько чисел набора принадлежат отрезку \(\displaystyle [\overline{x}-3S;\overline{x}+3S]\small?\)
Сначала найдем среднее набора, затем дисперсию, потом стандартное отклонение. После этого ответим на оставшиеся вопросы в задаче.
Всего в наборе \(\displaystyle 10\) чисел, тогда среднее
\(\displaystyle \overline{x}=\frac{9+8+7+4+3+9+1+7+4+8}{10}=6\small.\)
Найдем квадраты отклонений. Представим результат в виде таблицы:
| Значение \(\displaystyle (x)\) | Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-\overline{x})\) | Квадрат отклонения \(\displaystyle (x-\overline{x})^2\) |
| \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 9-6=3\) | \(\displaystyle 3^2=9\) |
| \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 8-6=2\) | \(\displaystyle 2^2=4\) |
| \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 7-6=1\) | \(\displaystyle 1^2=1\) |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 4-6=-2\) | \(\displaystyle (-2)^2=4\) |
| \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 3-6=-3\) | \(\displaystyle (-3)^2=9\) |
| \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 9-6=3\) | \(\displaystyle (3)^2=9\) |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 1-6=-5\) | \(\displaystyle (-5)^2=25\) |
| \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 7-6=1\) | \(\displaystyle 1^2=1\) |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 4-6=-2\) | \(\displaystyle (-2)^2=4\) |
| \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 8-6=2\) | \(\displaystyle 2^2=4\) |
Дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений. Вычислим ее, используя таблицу:
\(\displaystyle S^2=\frac{9+4+1+4+9+9+25+1+4+4}{10}=7\small.\)
Стандартное отклонение – квадратный корень из дисперсии:
\(\displaystyle S=\sqrt{S^2}=\sqrt{7}\small.\)
С помощью калькулятора вычислим квадратный корень из \(\displaystyle {7}\small.\) Результат округлим до десятых.
\(\displaystyle S=\sqrt{7}=2{,}646...\approx 2{,}65\small.\)
Выясним, сколько чисел набора принадлежат отрезку \(\displaystyle [\overline{x}-S;\overline{x}+S]\small,\) сколько чисел набора принадлежат отрезку \(\displaystyle [\overline{x}-2S;\overline{x}+2S]\small\)и сколько чисел набора принадлежат отрезку \(\displaystyle [\overline{x}-3S;\overline{x}+3S]\small.\)
\(\displaystyle \overline{x}-S\approx 6-2{,}65=3{,}35\small, \)
\(\displaystyle \overline{x}+S\approx 6+2{,}65=8{,}65\small. \)
В нашем наборе меньших, чем \(\displaystyle \overline{x}-S\approx 3{,}35\small, \) два числа (\(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 3\)).
В нашем наборе больших, чем \(\displaystyle \overline{x}+S\approx 8{,}65\small, \) два числа (это дважды значения\(\displaystyle 9\)).
Остальные \(\displaystyle 6\) чисел набора принадлежат отрезку \(\displaystyle [\overline{x}-S;\overline{x}+S]\small.\)
\(\displaystyle \overline{x}-2S\approx 6-2\cdot 2{,}65=0{,}7\small, \)
\(\displaystyle \overline{x}+2S\approx 6+2\cdot 2{,}65=11{,}3\small. \)
В нашем наборе чисел, меньших чем \(\displaystyle \overline{x}-2S\approx 0{,}7\small, \) нет.
В нашем наборе чисел, больших чем \(\displaystyle \overline{x}+2S\approx 11{,}3\small, \) нет.
Значит, все \(\displaystyle 10\) чисел набора принадлежат отрезку \(\displaystyle [\overline{x}-2S;\overline{x}+2S]\small.\)
Следовательно, все \(\displaystyle 10\) чисел набора принадлежат и отрезку \(\displaystyle [\overline{x}-3S;\overline{x}+3S]\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \overline{x}=6\small, \) \(\displaystyle S=\sqrt{7}\approx 2{,}65\small,\) \(\displaystyle 6\) чисел набора принадлежат отрезку \(\displaystyle [\overline{x}-S;\overline{x}+S]\small,\) \(\displaystyle 10\) чисел набора принадлежат отрезку \(\displaystyle [\overline{x}-2S;\overline{x}+2S]\small,\) \(\displaystyle 10\) чисел набора принадлежат отрезку \(\displaystyle [\overline{x}-3S;\overline{x}+3S]\small.\)