Дан числовой набор из \(\displaystyle 5\) чисел:
\(\displaystyle 0{,}5;\,\,0{,}7;\,\,0{,}8;\,\,1{,}3;\,\,1{,}2{\small. }\)
Найдите дисперсию данного набора.
Чтобы упростить вычисление дисперсии, воспользуемся следущим правилом:
Если каждое число набора с дисперсией \(\displaystyle S^2\small\) умножить на одно и то же число \(\displaystyle k\small,\) то дисперсией нового набора будет \(\displaystyle k^2\cdot S^2\small.\)
Обозначим исходный числовой набор
\(\displaystyle 0{,}5;\,\,0{,}7;\,\,0{,}8;\,\,1{,}3;\,\,1{,}2{\small, }\)
буквой \(\displaystyle A{\small.}\)
Каждое число набора \(\displaystyle A{\small}\) разделим на число \(\displaystyle k=0{,}1{\small,}\) что эквивалентно умножению на \(\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{1}{0{,}1}=10{\small:}\)
\(\displaystyle 0{,}5 \cdot \frac{1}{k};\,\,\,0{,}7 \cdot \frac{1}{k};\,\,\,0{,}8 \cdot \frac{1}{k};\,\,\,1{,}3 \cdot \frac{1}{k};\,\,\,1{,}2 \cdot \frac{1}{k}{\small; }\)
\(\displaystyle 0{,}5 \cdot 10;\,\,\,0{,}7 \cdot 10;\,\,\,0{,}8 \cdot 10;\,\,\,1{,}3 \cdot 10;\,\,\,1{,}2 \cdot 10{\small. }\)
Получили новый числовой набор
\(\displaystyle 5,\,\,7,\,\,8,\,\,13,\,\,12{\small,}\)
который обозначим буквой \(\displaystyle B{\small.}\)
Новый набор числовых данных удобнее для работы, чем исходный.
Найдём дисперсию набора \(\displaystyle B{\small,}\) для чего сначала вычислим его среднее.
Всего в наборе \(\displaystyle 5\) чисел, тогда среднее
\(\displaystyle \overline{x}=\frac{5+7+8+13+12}{5}=\frac{45}{5}=9\small.\)
Напомним определение дисперсии.
Дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего.
\(\displaystyle S^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots (x_n-\overline{x})^2}{n}\)
Тогда, чтобы найти дисперсию:
- найдем квадраты отклонений,
- вычислим их среднее.
Найдем квадраты отклонений. Представим результат в виде таблицы:
| Значение \(\displaystyle (x)\) | Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-\overline{x})\) | Квадрат отклонения \(\displaystyle (x-\overline{x})^2\) |
| \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 5-9=-4\) | \(\displaystyle (-4)^2=16\) |
| \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 7-9=-2\) | \(\displaystyle (-2)^2=4\) |
| \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 8-9=-1\) | \(\displaystyle (-1)^2=1\) |
| \(\displaystyle 13\) | \(\displaystyle 13-9=4\) | \(\displaystyle 4^2=16\) |
| \(\displaystyle 12\) | \(\displaystyle 12-9=3\) | \(\displaystyle 3^2=9\) |
Остается найти среднее арифметическое квадратов отклонений, и это будет дисперсия набора \(\displaystyle B{\small:}\)
\(\displaystyle S_B^2=\frac{16+4+1+16+9}{5}=\frac{46}{5}=9{,}2\small.\)
Так как умножением каждого числа набора \(\displaystyle B{\small}\) на \(\displaystyle k=0{,}1\small\) можно обратно перейти к исходному набору \(\displaystyle A{\small,}\) то умножив \(\displaystyle S_B^2\) на \(\displaystyle k^2=0{,}1^2\small,\) получим дисперсию набора \(\displaystyle A{\small:}\)
\(\displaystyle S_A^2=k^2 \cdot S_B^2=0{,}1^2 \cdot S_B^2=0{,}1^2 \cdot 9{,}2=0{,}01 \cdot 9{,}2=0{,}092\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}092\small.\)