Хорды \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) пересекаются в точке \(\displaystyle E\small.\) Найдите \(\displaystyle DE\small,\) если \(\displaystyle AE=5,\,BE=4,\,CE=2\small.\)
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности, равны. Отметим равные углы: \(\displaystyle \angle DAB=\angle DCB\) и \(\displaystyle \angle ADC=\angle ABC\small.\)
Тогда треугольники \(\displaystyle AED\) и \(\displaystyle CEB\) подобны по двум углам. Значит, выполняется равенство: \(\displaystyle \frac{AE}{CE}=\frac{DE}{BE}\small.\) |  |
Подставляя известные значения \(\displaystyle AE=5,\,BE=4,\,CE=2\small,\) получаем:
\(\displaystyle \frac{5}{2}=\frac{DE}{4}\small,\)
\(\displaystyle DE=\frac{5\cdot4}{2}=10\small.\)
Ответ: \(\displaystyle DE=10\small.\)
Отметим, что в процессе решения мы получили:
\(\displaystyle \frac{AE}{CE}=\frac{DE}{BE}\small.\)
Значит, справедливо правило:
Теорема об отрезках пересекающихся хорд
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:
\(\displaystyle \color{blue}{AE}\cdot \color{blue}{BE}=\color{green}{CE}\cdot \color{green}{ DE}\)