Skip to main content

Теория: 02 Хорды и подобие (короткая версия)

Задание

Через точку \(\displaystyle M\small,\) лежащую внутри окружности радиуса \(\displaystyle 5\) с центром \(\displaystyle O\small,\) провели хорду \(\displaystyle AB\small.\) Найдите \(\displaystyle MA\small,\) если \(\displaystyle MB=5\) и \(\displaystyle OM=3\small.\)

\(\displaystyle AM=\)
3,2
Решение

Построим рисунок к задаче:

Проведем диаметр \(\displaystyle CD\) через точку \(\displaystyle M\small.\)

Поскольку радиус окружности равен \(\displaystyle 5\small,\) то

  • \(\displaystyle CM=CO+MO=5+3=8\small,\)
  • \(\displaystyle DM=OD-MO=5-3=2\small.\)

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности, равны. Отметим равные углы:

    \(\displaystyle \angle DAB=\angle DCB\) и \(\displaystyle \angle ADC=\angle ABC\small.\)

    Тогда треугольники \(\displaystyle AMD\) и \(\displaystyle CMB\) подобны по двум углам.

    Значит, выполняется равенство:

    \(\displaystyle \frac{AM}{CM}=\frac{DM}{BM}\small.\)


    Подставляя известные значения \(\displaystyle BM=5,\,CM=8,\,DM=2\small,\) получаем:

    \(\displaystyle \frac{AM}{8}=\frac{2}{5}\small,\)

    \(\displaystyle AM=\frac{8\cdot2}{5}=3{,}2\small.\)

    Ответ: \(\displaystyle AM=3{,}2\small.\)

    Замечание / комментарий

    Отметим, что в процессе решения мы получили:

    \(\displaystyle \frac{AM}{CM}=\frac{DM}{BM}\small.\)

    Значит, справедливо правило:

    Правило

    Теорема об отрезках пересекающихся хорд

    Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

    \(\displaystyle \color{blue}{AE}\cdot \color{blue}{BE}=\color{green}{CE}\cdot \color{green}{ DE}\)