Теория: Признаки и свойства. Перпендикулярность диагоналей

Задание

В ромбе \(\displaystyle ABCD\) сторона \(\displaystyle BC\) равна \(\displaystyle 12{\small,}\) \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) данного ромба, \(\displaystyle OM\) – медиана треугольника \(\displaystyle AOB{\small.}\) Найдите \(\displaystyle OM{\small.}\)

\(\displaystyle OM=\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

\(\displaystyle ABCD\) – ромб.

\(\displaystyle BC=12{\small;}\)
\(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) – диагонали ромба;
\(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей ромба;
\(\displaystyle OM\) – медиана треугольника \(\displaystyle AOB{\small.}\)

Требуется найти длину медианы \(\displaystyle OM{\small.}\)

Воспользуемся одним из свойств ромба.

Свойство диагоналей ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Значит, \(\displaystyle \angle AOB=90^{\circ}{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle BAO{\small.}\)

По свойству прямоугольного треугольника медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Значит,

\(\displaystyle OM=\frac{1}{2} AB{\small.}\)

В ромбе все стороны равны. Следовательно,

\(\displaystyle AB=BC=12{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle OM=\frac{1}{2} AB=\frac{1}{2} \cdot 12=6{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle OM=6 {\small.}\)