Skip to main content

Теория: Признаки и свойства. Перпендикулярность диагоналей

Задание

Точка \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) ромба \(\displaystyle ABCD{\small,}\)  биссектрисы \(\displaystyle AK\) и \(\displaystyle BN\) треугольника \(\displaystyle ABO\) пересекаются в точке \(\displaystyle L{\small.}\) Найдите угол \(\displaystyle ALB{\small.}\) Ответ дайте в градусах. 

\(\displaystyle \angle ALB=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

\(\displaystyle ABCD\) – ромб.

  • \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) – диагонали ромба;
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей ромба;
  • \(\displaystyle AK\) – биссектриса угла \(\displaystyle BAO\) треугольника \(\displaystyle AOB{\small;}\)
  • \(\displaystyle BN\) – биссектриса угла \(\displaystyle ABO\) треугольника \(\displaystyle AOB{\small;}\)
  • \(\displaystyle L\) – точка пересечения биссектрис \(\displaystyle AK\) и \(\displaystyle BN{\small.}\)

 

Требуется найти угол \(\displaystyle ALB{\small.}\) 

 

Воспользуемся одним из свойств ромба.

Свойство диагоналей ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Значит, \(\displaystyle \angle AOB=90^{\circ}{\small.}\)


Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle AOB{\small.}\)

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90^{\circ}{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle \angle BAO+\angle ABO=90^{\circ}{\small.}\)

 

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ALB{\small.}\)

Так как сумма внутренних углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small,}\) то

\(\displaystyle \angle ALB=180^{\circ}-(\angle BAL+\angle ABL){\small.}\)

 

  • \(\displaystyle \angle BAL=\frac{1}{2}\angle BAO{\small;}\\ \)
  • \(\displaystyle \angle ABL=\frac{1}{2}\angle ABO{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \angle BAL+\angle ABL=\frac{1}{2}\bigg(\angle BAO+\angle ABO\bigg)=\frac{1}{2} \cdot 90^{\circ}=45^{\circ}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \angle ALB=180^{\circ}-(\angle BAL+\angle ABL)=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle ALB=135^{\circ}{\small.}\)