Известно, что \(\displaystyle a,\,b,\,c,\,d\)– положительные числа и \(\displaystyle a> b,\,d<b,\, c>a{\small .}\)
Расположите в порядке возрастания числа \(\displaystyle \frac{1}{a},\,\frac{1}{b},\,\frac{1}{c},\,\frac{1}{d}{\small .}\)
1. Сначала из исходных неравенств получим неравенства для чисел, обратных данным.
Поскольку числа \(\displaystyle a,\,b,\,c,\,d\)– положительные, то можем воспользоваться
Так как числа нужно упорядочить по возрастанию, все полученные неравенства будем записывать со знаком \(\displaystyle \!"\!<"{\small .}\)
Имеем:
- из \(\displaystyle a>b\) следует \(\displaystyle \frac{1}{a}<\frac{1}{b}{\small ;}\)
- из \(\displaystyle d<b\) следует \(\displaystyle \frac{1}{d}>\frac{1}{b}{\small ,}\) то есть \(\displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{d}{\small ;}\)
- из \(\displaystyle c>a\) следует \(\displaystyle \frac{1}{c}<\frac{1}{a}{\small .}\)
2. Упорядочим полученные числа по возрастанию.
В неравенствах
\(\displaystyle \frac{1}{a}<\frac{1}{b}{\small ,}\) \(\displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{d}{\small ,}\) \(\displaystyle \frac{1}{c}<\frac{1}{a}{\small }\)
только числа \(\displaystyle \frac{1}{c}\) и \(\displaystyle \frac{1}{d}\) встречаются по одному разу.
Значит, если четыре числа \(\displaystyle \frac{1}{a},\,\frac{1}{b},\,\frac{1}{c},\,\frac{1}{d}{\small }\) можно упорядочить по возрастанию, то одно из чисел \(\displaystyle \frac{1}{c}\) и \(\displaystyle \frac{1}{d}\) будет наибольшим, другое – наименьшим из данных четырёх.
Так как
\(\displaystyle \frac{1}{c}<\frac{1}{a}{\small ,}\) то \(\displaystyle \frac{1}{c}\)– наименьшее.
Начнём располагать числа по возрастанию с \(\displaystyle \frac{1}{c}{\small .}\)
\(\displaystyle \frac{1}{c}<\frac{1}{a}{\small ,}\) \(\displaystyle \frac{1}{a}<\frac{1}{b}{\small ,}\) \(\displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{d}{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{1}{c}<\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<\frac{1}{d}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{c}<\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<\frac{1}{d}{\small .}\)