Skip to main content

Теория: Стороны и длины отрезков (короткая версия)

Задание

В равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD\) основания \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) равны соответственно \(\displaystyle 14\) и \(\displaystyle 26{\small.}\) Высоты \(\displaystyle BH\) и \(\displaystyle CK\) делят большее основание на три отрезка. Найдите длину меньшего из полученных отрезков.

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – равнобедренная трапеция:

  • \(\displaystyle AB=CD \) – боковые стороны;
  • \(\displaystyle BC=14\) и \(\displaystyle AD=26\) – основания;
  • \(\displaystyle BH\) и \(\displaystyle CK\) – высоты.

Требуется найти наименьший из отрезков \(\displaystyle AH{\small,}\) \(\displaystyle HK\) и \(\displaystyle KD{\small.}\)
 

\(\displaystyle HK=BC=14{\small.}\)

Поскольку трапеция \(\displaystyle ABCD\) равнобедренная, то

\(\displaystyle \angle BAD=\angle CDA{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK{\small.}\)

  • \(\displaystyle AB=CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle BAH=\angle CDK{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle ABH= \triangle DCK\)

по гипотенузе и острому углу.

 

Значит, равны катеты \(\displaystyle AH\) и \(\displaystyle KD{\small,}\) то есть

\(\displaystyle AH=KD=\frac{AD-HK}{2}{\small;}\)

\(\displaystyle AH=KD=\frac{26-14}{2}=\frac{12}{2}=6{\small.}\)

Получили:

\(\displaystyle AH=6{\small;}\)  \(\displaystyle HK=14{\small;}\)  \(\displaystyle KD=6{\small.}\)

Так как \(\displaystyle 6<14{\small,}\) то длина меньшего из полученных отрезков равна \(\displaystyle 6{\small.}\)
 

Ответ: \(\displaystyle 6{\small.}\)