Из точки \(\displaystyle P\small,\) лежащей вне окружности, провели две секущие. Одна секущая пересекает окружность в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\small,\) другая в точках \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\small.\) Найдите \(\displaystyle PB\small,\) если \(\displaystyle PA=4,\,PC=6,\,PD=10\small.\)
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small:}\) \(\displaystyle \angle ABD=180^{\circ}-\angle DCA\small.\) Значит, \(\displaystyle \angle ACP=180^{\circ}-\angle DCA=\angle ABD\small.\)
Тогда треугольники \(\displaystyle APC\) и \(\displaystyle DPB\) подобны по двум углам. Значит, выполняется равенство: \(\displaystyle \frac{AP}{DP}=\frac{CP}{BP}\small.\) |  |
Подставляя известные значения \(\displaystyle AP=4,\,CP=6,\,DP=10\small,\) получаем:
\(\displaystyle \frac{4}{10}=\frac{6}{BP}\small,\)
\(\displaystyle BP=\frac{6\cdot10}{4}=15\small.\)
Ответ: \(\displaystyle BP=15\small.\)
Отметим, что в процессе решения мы получили:
\(\displaystyle \frac{AP}{DP}=\frac{CP}{BP}\small.\)
Значит, справедливо правило:
Теорема об отрезках секущих
Если две секущие проходят через одну точку, то произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей:
\(\displaystyle \color{blue}{AP}\cdot \color{blue}{BP}=\color{green}{CP}\cdot \color{green}{ DP}\)