Из точки\(\displaystyle P\small,\)лежащей вне окружности, провели две секущие. Одна секущая пересекает окружность в точках\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\small,\)другая в точках\(\displaystyle C\)и\(\displaystyle D\small.\)Найдите \(\displaystyle PA\small,\)если\(\displaystyle AB=5{ \small ,}\,DC=PD=6{ \small ,} \,PB<PA\small.\)
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small:}\) \(\displaystyle \angle ACD=180^{\circ}-\angle ABD\small.\) Значит, \(\displaystyle \angle DBP=180^{\circ}-\angle ABD=\angle ACD\small.\)
Тогда треугольники \(\displaystyle APC\) и \(\displaystyle DPB\) подобны по двум углам. Значит, выполняется равенство: \(\displaystyle \frac{AP}{DP}=\frac{CP}{BP}\small.\) |  |
Обозначим \(\displaystyle BP=x{\small .}\) Тогда \(\displaystyle AP=x+5,\,CP=6+6=12,\,DP=6\small.\) Подставим:
\(\displaystyle \frac{x+5}{6}=\frac{12}{x}\small,\)
\(\displaystyle x(x+5)=72\small,\)
\(\displaystyle x^2+5x-72=0\small.\)
\(\displaystyle x=\frac{-5+\sqrt{313}}{2}\) или \(\displaystyle x=\frac{-5-\sqrt{313}}{2}\small.\)
Поскольку длина отрезка положительна, то
\(\displaystyle BP=x=\frac{-5+\sqrt{313}}{2}\small.\)
Тогда
\(\displaystyle AP=\frac{-5+\sqrt{313}}{2}+5=\frac{5+\sqrt{313}}{2}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle AP=\frac{5+\sqrt{313}}{2}\small.\)
Отметим, что в процессе решения мы получили:
\(\displaystyle \frac{AP}{DP}=\frac{CP}{BP}\small.\)
Значит, справедливо правило:
Теорема об отрезках секущих
Если две секущие проходят через одну точку, то произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей:
\(\displaystyle \color{blue}{AP}\cdot \color{blue}{BP}=\color{green}{CP}\cdot \color{green}{ DP}\)