Задание
Выберите верный знак неравенства
\(\displaystyle a^2+b^2\) \(\displaystyle 2ab{\small . }\)
Здесь \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\)– произвольные числа.
Решение
Чтобы сравнить \(\displaystyle a^2+b^2\) и \(\displaystyle 2ab{\small ,}\) составим разность этих выражений и сравним её с нулём.
Получаем:
\(\displaystyle a^2+b^2-2ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\geqslant 0{\small , }\)
причём равенство достигается только при \(\displaystyle a=b{\small. }\)
Следовательно,
\(\displaystyle a^2+b^2\geqslant2ab{\small ,}\)
причём равенство достигается только при \(\displaystyle a=b{\small. }\)
Заметим, что выбав другие знаки неренства, получим
либо неравенство, которое не выполняется ни для каких \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small ,}\)
либо неравенства, которые выполняются не для всех \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle a^2+b^2\geqslant2ab{\small .}\)