Найдите корни многочлена
\(\displaystyle x^3-23x^2\small.\)
Корень многочлена
Корнем многочлена называют такое значение переменной, при котором значение многочлена равно нулю.
Чтобы найти корни многочлена \(\displaystyle x^3-23x^2\small,\) нужно решить уравнение
\(\displaystyle x^3-23x^2=0\small.\)
Решим уравнение
\(\displaystyle x^3-23x^2=0\small.\)
Вынесем общий множитель \(\displaystyle x^2\) в левой части уравнения:
\(\displaystyle x^3-23x^2=x^2(x-23)\small.\)
Получим
\(\displaystyle x^2(x-23)=0{\small .}\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные множители при этом не теряют смысла.
Следовательно,
\(\displaystyle x^2=0\) или \(\displaystyle x-23=0{\small .}\)
Решим каждое из полученных линейных уравнений.
1. Уравнение \(\displaystyle x^2=0{\small . } \)
\(\displaystyle x^2=0{\small ; } \)
\(\displaystyle x\cdot x=0{\small . } \)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит,
\(\displaystyle x=0{\small . } \)
2. Уравнение \(\displaystyle x-23=0{\small . } \)
\(\displaystyle x-23=0{\small ; } \)
\(\displaystyle x=23{\small . } \)
Итак, многочлен \(\displaystyle x^3-23x^2\small\) обращается в ноль при \(\displaystyle x=0 {\small }\) и \(\displaystyle x=23{\small . } \)
Значит, корнями многочлена \(\displaystyle x^3-23x^2\small\) являются числа \(\displaystyle 0 {\small }\) и \(\displaystyle 23{\small . } \)
Наименьший корень \(\displaystyle 0 {\small , }\) наибольший корень \(\displaystyle 23 {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 0 {\small }\) и \(\displaystyle 23 {\small . } \)