Найдите корень многочлена
\(\displaystyle x^4+31x^2\small.\)
Корень многочлена
Корнем многочлена называют такое значение переменной, при котором значение многочлена равно нулю.
Чтобы найти корни многочлена \(\displaystyle x^4+31x^2\small,\) нужно решить уравнение
\(\displaystyle x^4+31x^2=0\small.\)
Решим уравнение
\(\displaystyle x^4+31x^2=0\small.\)
Вынесем общий множитель \(\displaystyle x^2\) в левой части уравнения:
\(\displaystyle x^4+31x^2=x^2(x^2+31)\small.\)
Получим
\(\displaystyle x^2(x^2+31)=0{\small .}\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные множители при этом не теряют смысла.
Следовательно,
\(\displaystyle x^2=0\) или \(\displaystyle x^2+31=0{\small .}\)
Решим каждое из полученных уравнений.
1. Уравнение \(\displaystyle x^2=0{\small . } \)
\(\displaystyle x^2=0{\small ; } \)
\(\displaystyle x\cdot x=0{\small . } \)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит,
\(\displaystyle x=0{\small . } \)
2. Решим уравнение \(\displaystyle x^2+31=0{\small . } \)
Покажем, что полученное уравнение не имеет корней.
Если \(\displaystyle x\) положительно, то число \(\displaystyle x^2\small\) положительно и \(\displaystyle x^2+31\small\) положительно. Значит, положительное \(\displaystyle x\) не может быть корнем.
Если \(\displaystyle x\) отрицательно, то число \(\displaystyle x^2\small\) положительно и \(\displaystyle x^2+31\small\) положительно. Значит, отрицательное \(\displaystyle x\) не может быть корнем.
Если \(\displaystyle x=0\small,\) то \(\displaystyle x^2+31=0^2+31=31\small\) положительно. Значит, число \(\displaystyle 0\) не может быть корнем.
Таким образом, никакое число не является корнем уравнения \(\displaystyle x^2+31=0\small.\)
Итак, многочлен \(\displaystyle x^4+31x^2\small\) обращается в ноль при \(\displaystyle x=0 {\small . } \)
Значит, корнем многочлена \(\displaystyle x^4+31x^2\small\) является число \(\displaystyle 0 {\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle 0 {\small . } \)