Skip to main content

Теория: 29 Прямоугольная трапеция и её свойства-2

Задание

В прямоугольной трапеции \(\displaystyle ABCD\) \(\displaystyle (AD\parallel BC{\small,}\, \, AB \perp AD)\) диагональ \(\displaystyle AC\) перпендикулярна боковой стороне \(\displaystyle CD{\small,}\) \(\displaystyle \angle D=30^{\circ}{\small.}\) Найдите меньшее основание трапеции, если бóльшее основание равно \(\displaystyle 24\, \footnotesize см{\small.}\)

\(\displaystyle \footnotesize см{\small.}\)

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольная трапеция:

  • \(\displaystyle \angle A= \angle B=90^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle D=30^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle AD=24\) – бóльшее основание;
  • \(\displaystyle AC \perp CD{\small.}\)

Требуется найти меньшее основание данной трапеции, то есть найти основание \(\displaystyle BC{\small.}\)

 

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ADC{\small.}\)

\(\displaystyle \triangle ADC\) – прямоугольный, \(\displaystyle \angle ADC=30^{\circ}{\small.}\)

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90^{\circ}{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle \angle CAD=90^{\circ}-\angle ADC{\small;}\)

\(\displaystyle \angle CAD=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}{\small.}\)

Свойство прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в \(\displaystyle 30^{\circ}{\small,}\) равен половине гипотенузы

Следовательно,

\(\displaystyle AC=\frac{1}{2} \cdot AD=\frac{1}{2} \cdot 24=12{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC{\small.}\)

\(\displaystyle \triangle ABC\) – прямоугольный.

 

\(\displaystyle \angle BAC=\angle BAD- \angle CAD{\small;}\)

\(\displaystyle \angle BAC=90^{\circ}- 60^{\circ}=30^{\circ}{\small.}\)

Катет \(\displaystyle BC\) лежит против угла в \(\displaystyle 30^{\circ}{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle BC=\frac{1}{2} \cdot AC=\frac{1}{2} \cdot 12=6{\small.}\)

Меньшее основание трапеции равно \(\displaystyle 6{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 6{\small.}\)