Skip to main content

Теория: 29 Прямоугольная трапеция и её свойства-2

Задание

Из вершины прямого угла меньшего основания прямоугольной трапеции под углом \(\displaystyle 45^{\circ}\) к этому основанию проведён луч, который проходит через середину большей боковой стороны. Найдите меньшую боковую сторону этой трапеции, если её основания равны \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3{\small.}\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольная трапеция:

  • \(\displaystyle \angle A= \angle B=90^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=2\) – меньшее основание;
  • \(\displaystyle AD=3\) – бóльшее основание;
  • точка \(\displaystyle M\) – середина бóльшей боковой стороны \(\displaystyle CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle BM\) пересекает продолжение основания \(\displaystyle AD\) в точке \(\displaystyle L{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle CBL=45^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти меньшую боковую cторону данной трапеции, то есть найти \(\displaystyle AB{\small.}\)

 

\(\displaystyle \angle ABL=45^{\circ}{\small,}\)

\(\displaystyle \angle ALB=45^{\circ}{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABL{\small.}\)

  • \(\displaystyle \angle BAL=90^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle ABL=\angle ALB=45^{\circ}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle ABL\) – равнобедренный прямоугольный треугольник.

Значит,

\(\displaystyle \color{red}{AB}=\color{red}{AL}{\small.}\)

Так как точка \(\displaystyle L\) лежит на продолжении основания \(\displaystyle AD{\small,}\) то

\(\displaystyle \color{red}{AL}=AD+DL=3+DL{\small.}\)

Найдем длину отрезка \(\displaystyle DL{\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle CMB\) и \(\displaystyle DML{\small.}\)

  • \(\displaystyle CM=MD\) – по условию;
  • \(\displaystyle \angle BCM=\angle LDM\) – накрест лежащие углы при параллельных прямых \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) и секущей \(\displaystyle CD{\small.}\)
  • \(\displaystyle \angle BMC=\angle LMD\) – вертикальные углы.

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle CMB= \triangle DML\)

по стороне и двум прилежащим углам.

Значит,

\(\displaystyle DL=BC=2{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \color{red}{AL}=3+DL=3+2=5{\small.}\)

Получили:

\(\displaystyle \color{red}{AB}=\color{red}{AL}=5{\small.}\)

Меньшая боковая сторона трапеции равна \(\displaystyle 5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 5{\small.}\)