Skip to main content

Теория: 29 Прямоугольная трапеция и её свойства-2

Задание

В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая диагональ составляет с меньшей боковой стороной угол в \(\displaystyle 60^{\circ}{\small.}\) Найдите бóльшее основание трапеции, если меньшее основание этой трапеции равно \(\displaystyle 6{\small.}\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольная трапеция:

  • \(\displaystyle \angle A= \angle B=90^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=6\) – меньшее основание;
  • \(\displaystyle AC \perp BD\) – диагонали;
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей;
  • \(\displaystyle \angle ABD=60^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти бóльшее основание данной трапеции, то есть найти основание \(\displaystyle AD{\small.}\)

 

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle BOC{\small.}\)

\(\displaystyle \angle BOC=90^{\circ}{\Rightarrow}\)\(\displaystyle \triangle BOC\) – прямоугольный.

 

\(\displaystyle \angle CBO=\angle ABC- \angle ABO{\small;}\)

\(\displaystyle \angle CBO=90^{\circ}- 60^{\circ}=30^{\circ}{\small.}\)

Свойство прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в \(\displaystyle 30^{\circ}{\small,}\) равен половине гипотенузы

Следовательно,

\(\displaystyle OC=\frac{1}{2} \cdot BC=\frac{1}{2} \cdot 6=3{\small.}\)

\(\displaystyle \angle BAC=30^{\circ}{\small,}\)

\(\displaystyle \angle ADO=30^{\circ}{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC{\small.}\)

\(\displaystyle \triangle ABC\) – прямоугольный, \(\displaystyle \angle BAC=30^{\circ}{\small.}\)

Катет \(\displaystyle BC\) лежит против угла в \(\displaystyle 30^{\circ}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle BC=\frac{1}{2} \cdot AC{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle AC=2BC=2 \cdot 6=12{\small.}\)

Точка \(\displaystyle O\) лежит на диагонали \(\displaystyle AC{\small,}\) тогда

\(\displaystyle AO=AC-OC=12-3=9{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle AOD{\small.}\)

\(\displaystyle \triangle AOD\) – прямоугольный, \(\displaystyle \angle ADO=30^{\circ}{\small.}\)

Катет \(\displaystyle AO\) лежит против угла в \(\displaystyle 30^{\circ}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle AO=\frac{1}{2} \cdot AD{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle AD=2AO=2 \cdot 9=18{\small.}\)

Бóльшее основание трапеции равно \(\displaystyle 18{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 18{\small.}\)