Теория: Разные задачи (короткая версия)

Задание

В равнобедренной трапеции высота равна \(\displaystyle 3{\small,}\) бóльшее основание равно \(\displaystyle 8{\small,}\) а угол при основании равен \(\displaystyle 45^{\circ}{\small.}\) Найдите меньшее основание трапеции.

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – равнобедренная трапеция:

\(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны;
\(\displaystyle AD=8\) – бóльшее основание;
\(\displaystyle BH=3\) – высота;
\(\displaystyle \angle BAD=45^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти длину основания \(\displaystyle BC{\small.}\)

Поскольку трапеция \(\displaystyle ABCD\) равнобедренная, то

\(\displaystyle \angle CDA=\angle BAD=45^{\circ}{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Из вершины \(\displaystyle C\) проведём высоту \(\displaystyle CK{\small.}\)

Высоты трапеции равны:

\(\displaystyle CK=BH=3{\small.}\)

\(\displaystyle \color{red}{BC}=HK{\small.}\)

\(\displaystyle AH=KD=3{\small.}\)

Найдём длину отрезка \(\displaystyle HK{\small.}\)

Точки \(\displaystyle H\) и \(\displaystyle K\) лежат на основании \(\displaystyle AD{\small,}\) значит,

\(\displaystyle AD=AH+HK+KD{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle HK=AD-(AH+KD){\small;}\)

\(\displaystyle HK=8-(3+3)=8-6=2{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \color{red}{BC}=2{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 2{\small.}\)