Skip to main content

Теория: Разные задачи (короткая версия)

Задание

Основания равнобедренной трапеции равны \(\displaystyle 15\) и \(\displaystyle 9\small,\) один из углов равен \(\displaystyle 45^\circ\small.\) Найдите высоту трапеции.

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – равнобедренная трапеция:

  • \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны;
  • \(\displaystyle BC=9\) и \(\displaystyle AD=15\) – основания;
  • \(\displaystyle \angle BAD=45^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти высоту трапеции.

 

Поскольку трапеция \(\displaystyle ABCD\) равнобедренная, то

\(\displaystyle \angle CDA=\angle BAD=45^{\circ}{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Из вершин \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) трапеции \(\displaystyle ABCD\) проведём высоты \(\displaystyle BH\) и \(\displaystyle CK{\small.}\)

\(\displaystyle HK=BC=9{\small.}\)

\(\displaystyle AH=KD=3{\small.}\)

Найдём высоту \(\displaystyle BH\) из прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABH{\small:}\)

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90^{\circ}{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle \angle ABH=90^{\circ}-\angle BAH{\small;}\)

\(\displaystyle \angle ABH=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}{\small.}\)

 

Так как \(\displaystyle \angle ABH=\angle BAH{\small,}\) то \(\displaystyle \triangle ABH\) – равнобедренный. Следовательно,

\(\displaystyle BH=AH=3{\small.}\)

То есть высота трапеции равна \(\displaystyle 3{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 3{\small.}\)