Skip to main content

Теория: Определение и свойства (короткая версия)

Задание

Найдите среднюю линию равностороннего треугольника, если его периметр равен \(\displaystyle 96{\small.}\)

Решение

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

 

Третью сторону треугольника, с которой его средняя линия не имеет общих точек, называют основанием.

 

Пусть \(\displaystyle ABC\) – равносторонний треугольник:

  • \(\displaystyle MN\) – средняя линия;
  • \(\displaystyle P_{\triangle ABC}=96{\small.}\)

 

Требуется найти длину средней линии.

 

свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине основания.

Согласно свойству

\(\displaystyle MN=\frac{1}{2} \cdot AC{\small.}\)

Найдём длину стороны \(\displaystyle AC\) равностороннего треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC{\small.}\)

Так как в равностороннем треугольнике все стороны равны, то

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=3 \cdot AC{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle P_{\triangle ABC}=96{\small:}\)

\(\displaystyle 96=3 \cdot AC{\small;}\)

\(\displaystyle AC=32{\small.}\)

В результате получаем:

\(\displaystyle MN=\frac{1}{2} \cdot AC=\frac{1}{2} \cdot 32=16{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 16{\small.}\)

Замечание / комментарий

В равностороннем треугольнике все стороны равны, значит, равны все средние линии.