Skip to main content

Теория: Определение и свойства (короткая версия)

Задание

Отрезок, соединяющий середины сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small,}\) на \(\displaystyle 3\, \footnotesize см\) меньше стороны \(\displaystyle BC{\small,}\) на \(\displaystyle 4\, \footnotesize см\) меньше стороны \(\displaystyle AB\) и на \(\displaystyle 5\, \footnotesize см\) меньше стороны \(\displaystyle AC{\small.}\) Найдите периметр треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=\)  \(\displaystyle \footnotesize см{\small.}\)

Решение

\(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle N\) – середина стороны \(\displaystyle AC{\small.}\)

Пусть \(\displaystyle MN=x{\small,}\) тогда по условию задачи

  • \(\displaystyle BC=x+3{\small;}\)
  • \(\displaystyle AB=x+4{\small;}\)
  • \(\displaystyle AC=x+5{\small.}\)

Требуется найти периметр треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

 

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC=\color{red}{\large ?}\)

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=x+4+x+3+x+5=3x+12=\color{red}{\large ?}\)

 

\(\displaystyle MN\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

По свойству средней линии треугольника:

\(\displaystyle MN=\frac{1}{2} \cdot BC\, \, \, \Longrightarrow\, \, \, BC=2 \cdot MN{\small;}\)

Подставим \(\displaystyle BC=x+3{\small,}\) \(\displaystyle MN=x{\small:}\)

\(\displaystyle x+3=2\cdot x{\small;}\)

\(\displaystyle x=3{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=3x+12=3 \cdot 3+12=9+12=21\, \footnotesize см{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle P_{\triangle ABC}=21\, \footnotesize см{\small.}\)