Skip to main content

Теория: Определение и свойства (короткая версия)

Задание

Периметр треугольника \(\displaystyle ABC\) равен \(\displaystyle 54{\small.}\) Точки \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) являются серединами сторон \(\displaystyle AB{\small,}\) \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AC\) соответственно. Найдите периметр треугольника \(\displaystyle MNK{\small.}\)

Решение

Пусть \(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle P_{\triangle ABC}=54{\small;}\)
  • \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle N\) – середина стороны \(\displaystyle BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle K\) – середина стороны \(\displaystyle AC{\small.}\)

 

Требуется найти периметр треугольника \(\displaystyle MNK{\small.}\)

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

\(\displaystyle P_{\triangle MNK}=MN+NK+MK=\color{red}{\large ?}\)

 

По условию \(\displaystyle P_{\triangle ABC}=54{\small,}\) то есть

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC=54{\small.}\)

\(\displaystyle MN{\small,}\) \(\displaystyle NK\) и \(\displaystyle MK\) – средние линии треугольника \(\displaystyle ABC\) по определению.

По свойству средней линии треугольника:

 

\(\displaystyle MN=\frac{1}{2} \cdot AC{\small;}\)

\(\displaystyle NK=\frac{1}{2} \cdot AB{\small;}\)

\(\displaystyle MK=\frac{1}{2} \cdot BC{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle\begin{aligned}P_{\triangle MNK}&=MN+NK+MK=\\ \\&=\frac{1}{2} \cdot AC+\frac{1}{2} \cdot AB+\frac{1}{2} \cdot BC=\\ \\&=\frac{1}{2} \cdot (AC+AB+BC)=\\ \\&=\frac{1}{2} \cdot P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} \cdot 54=27{\small.}\end{aligned}\)

Ответ: \(\displaystyle 27{\small.}\)