Skip to main content

Теория: 02 Длина отрезка, откладывание отрезка

Задание

На прямой \(\displaystyle q\) отмечены пять точек.

На рисунке правильно показан их порядок на прямой (но не пропорциональность длин отрезков).
 


Известны некоторые расстояния между точками:

\(\displaystyle AB=36{\small ,\;}BC=39{\small ,\;}BE=48{\small .}\)

Каким может быть расстояние между точками \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle D~{\normalsize ?}\)

Решение

Расстояние между точками \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle D~-\) это длина соответствующего отрезка. 

Значит, в задаче требуется определить, какие из перечисленных значений может принимать длина отрезка \(\displaystyle AD{\small .}\)

1. Оценим длину отрезка \(\displaystyle AD{\small ,}\) опираясь на взаимное расположение точек рисунка.


 

Отрезок \(\displaystyle AC~-\) часть отрезка \(\displaystyle AD{\small .}\) Значит, для их длин выполнено неравенство \(\displaystyle AC<AD{\small .}\)

Отрезок \(\displaystyle AD~-\) часть отрезка \(\displaystyle AE{\small .}\) Значит, для их длин выполнено неравенство \(\displaystyle AD<AE{\small .}\)

То есть справедлива следующая оценка для длины отрезка \(\displaystyle AD\,{\text :}\)

\(\displaystyle AC<AD<AE{\small .}\)

2. Вычислим длины отрезков в обеих частях двойного неравенства.


Отрезок \(\displaystyle AC\) составлен из отрезков \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC{\small ,}\) значит, длина этого отрезка равна сумме длин его частей:

\(\displaystyle AC=AB+BC=36+39=75{\small .}\)


Отрезок \(\displaystyle AE\) составлен из отрезков \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC{\small ,}\)значит,

\(\displaystyle AE=AB+BE=36+48=84{\small .}\)

3. Выберем из предложенных вариантов подходяшие.

Подставляя вычисленные значения в правую и левую часть двойного неравенства, получаем:

\(\displaystyle 75<AD<84{\small .}\)


Единственным удовлетворяющим оценке вариантом является \(\displaystyle 80{\small .}\)

Замечание / комментарий

Важно убедиться, что этот вариант подходит.

От точки \(\displaystyle A\) на луче \(\displaystyle AE\) можно отложить отрезок \(\displaystyle AD\) длиной \(\displaystyle 80{\small .}\)

При этом точка \(\displaystyle D\) обязательно окажется между точками \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle E{ \small ,}\) так как отрезок \(\displaystyle AD\) короче отрезка \(\displaystyle AE\) и длиннее отрезка \(\displaystyle AC{\small .}\)

Взаимное расположение точек совпадёт с изображённым на рисунке. 

Ответ: \(\displaystyle 80{\small .}\)